第二章 直线和圆的方程 学案

2．1　直线的倾斜角与斜率

知识点一　直线的倾斜角

(一)教材梳理填空

1．确定一条直线的条件

确定一条直线的条件是一点和一个方向．

规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．

2．直线的倾斜角

　[微提醒]　在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．

(二)基本知能小试

1.如图所示，直线l的倾斜角为(　　 )

A．60°　　　　　　　 B．150°

C．0°  D．不存在

答案：B

2．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是(　　)

A．45°  B．135°

C．45°或135°  D．－45°

解析：选B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.

知识点二　直线的斜率

(一)教材梳理填空

1．斜率的定义

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．

斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.

2．斜率公式

过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.

3．斜率与倾斜角的对应关系

(二)基本知能小试

1．判断正误

(1)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　)

(2)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　 )

A．5  B．8

C.  D．7

解析：选C　 由斜率公式可得＝1，解得m＝.

3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　 )

A.   B.

C．1   D.

解析：选A　由题意可知，k＝tan 30°＝.

题型一　对倾斜角、斜率概念的理解

[学透用活]

[典例1]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)

A．α＋45°　　　　　 B．α－135°

C．135°－α  D．α＋45°或α－135°

[解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．

[答案]　D

　　　求直线倾斜角的方法及关注点

[对点练清]

　若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．0°≤α<90°  B．90°≤α<180°

C．90°<α<180°  D．0°<α<180°

解析：选C　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.

题型二　直线的斜率

[学透用活]

[典例2]　(1)[多选]已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　 )

A．(0，－4)  B．(4,0)

C．(2,0)  D．(0，－8)

(2)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________.

(3)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．

[解析]　(1)设B(x,0)或(0，y)，

∵kAB＝或kAB＝，

∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，

∴点B的坐标为(2,0)或(0，－8)．

(2)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，

又k＝，由＝－1，得y＝－5.

(3)由斜率公式k＝＝1，得m＝1.

[答案]　(1)CD　(2)－5　(3)1[方法技巧]

求直线斜率的两种类型

一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况．

[对点练清]

1．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．

解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1.

由kAC＝3kBC，得＝3·，

∴m＝4.

答案：4

2．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．

解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．

kAB＝＝0，kAC＝＝－1.

∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在．

题型三　倾斜角与斜率的简单综合

[学透用活]

[典例3]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

[解]　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，

(1)要使l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，

∴α的取值范围是45°≤α≤135°.

[方法技巧]

解决斜率问题的方法

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决；

(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解；

(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．

[对点练清]

1．[求参数范围]若经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－1，＋∞)

C．(－1,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C　∵直线l的倾斜角为锐角，

∴斜率k＝>0，∴－1<m<1.

2．[求参数值]已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为________．

解析：∵A，B，C三点共线，

∴kAB＝kBC，即＝，

解得a＝2或.

答案：2或

3．[求斜率范围]将本例变为： 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．

解：如图所示．

当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，因为kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是.

[课堂思维激活]

一、综合性——强调融会贯通

1.如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率．

解：如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，

则有OE＝ED＝DA＝1，

CE＝BD＝1，

所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，

所以kOC＝＝1，kAB＝＝－1，

kOA＝kBC＝0，

所以OA，AB，BC，CO四边所在直线的倾斜角分别为0°，135°，0°，45°.

二、应用性——强调学以致用

2．利用斜率公式证明不等式：>(0<a<b且m>0)．

[析题建模]　

―→

证明：∵0<a<b，∴点P(b，a)在第一象限且位于直线y＝x的下方．又m>0，∴－m<0，∴点M(－m，－m)在第三象限且必在直线y＝x上．∴直线MP的倾斜角大于OP(O为坐标原点)的倾斜角，即kMP>kOP，又kMP＝，kOP＝，∴>.

[课下过关检测]

1．[多选]给出下列说法，其中正确的是(　　)

A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°

B．若k是直线的斜率，则k∈R

C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角

解析：选ABC　显然A、B、C正确，D错误．

2．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)

A．45°，1　　　　　　　 B．135°，－1

C．90°，不存在  D．180°，不存在

解析：选C　由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.

3．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　 )

A．60°  B．30°

C．60°或120°  D．30°或150°

解析：选C　 由题意知|tan α|＝，

即tan α＝或tan α＝－，

∴直线l的倾斜角为60°或120°.

4．斜率为2的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)，则a，b的值为(　　 )

A．a＝4，b＝0  B．a＝－4，b＝－3

C．a＝4，b＝－3  D．a＝－4，b＝3

解析：选C　由题意，得即

解得a＝4，b＝－3.

5.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3, 则有(　　 )

A．k1<k2<k3

B．k2<k3<k1

C．k1<k3<k2

D．k2<k1<k3

解析：选C　由题干图可知，直线l1的斜率为负，最小；直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，且都小于90°，所以直线l2的斜率大于直线l3的斜率．

6．经过A(1,3)，B(－4,13)两点的直线的方向向量为(2，k)，则k的值为________．

解析：易得＝，解得k＝－4.

答案：－4

7．直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．

解析：如图所示．

∵直线l的倾斜角为150°，

∴绕(－1,0)点逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan 30°＝.

答案： 30°　　

8．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．

解析：∵k＝且直线的倾斜角为钝角，∴<0，解得－2<a<1.

答案：(－2,1)

9．已知直线l的斜率为k＝1－m2(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．

解：因为k＝1－m2≤1，

所以当k∈[0,1]时，倾斜角α∈；

当k∈(－∞，0)时，倾斜角α∈，

故倾斜角的取值范围是∪.

10．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．

证明：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，

∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.

∴kAB＝kAC.

∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，

∴直线AB与直线AC为同一直线．

故A，B，C三点共线．

1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　 )

A．α  B．180°－α

C．180°－α或90°－α  D．90°＋α或90°－α

解析：选D　当l方向向上的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α.故选D.

2．若直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　　 )

A．[0,2]  B．[0,1]

C.   D.

解析：选A　如图所示，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．

3．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________．

解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，

故l的斜率k＝kPQ＝＝－.

答案：－

4.如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．

解：因为OD ∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝；DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；由菱形的性质知，∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝，直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.

5．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

由于的几何意义是直线OP的斜率，

且kOA＝2，kOB＝，

所以的最大值为2，最小值为.

知识点一　两条直线平行与斜率之间的关系

(一)教材梳理填空

设两条不重合的直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：

　[微提醒]　若没有特别说明时，两条直线l1，l2是指两条不重合的直线．

(二)基本知能小试

1．判断正误

(1)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　 )

(2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．(　　 )

答案：(1)√　(2)√

2．已知A(2,0)，B(3，)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角为________．

解析：∵l∥AB，∴kl＝kAB＝＝.

∴直线l的倾斜角为60°.

答案：60°

3．若l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.

解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0.

答案：0

知识点二　两条直线垂直与斜率之间的关系

(一)教材梳理填空

设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则对应关系如下：

(二)基本知能小试

1．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　 )

A．平行　　　　　　　　 B．垂直

C．重合  D．非以上情况

解析：选B　∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.

2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　　)

A．α1－α2＝90°  B．α2－α1＝90°

C．|α2－α1|＝90°  D．α1＋α2＝180°

解析：选C　由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.

题型一　两条直线平行的判定及应用

[学透用活]

[典例1]　[多选]下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有(　　 )

A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)

B．l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)

C．l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)

D．l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5)

[解析]　对于A，∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，∴kAB＝kCD，∴l1∥l2；对于B，∵kl2＝＝1≠kl1＝2，∴l1不平行于l2；对于C，∵kl1＝tan 60°＝，kl2＝＝，∴kl1＝kl2，∴l1∥l2；对于D，l1，l2斜率均不存在，∴l1∥l2.

[答案]　ACD

[方法技巧]　判断两条直线平行的方法步骤

[对点练清]

1．在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．

解析：∵E，F分别为边AC，BC的中点，

∴EF∥AB.

∴kEF＝kAB＝＝－2.

答案：－2

2．已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________.

解析：kAB＝＝－，

当2－2a＝－a，即a＝2时，kAB＝－，kCD不存在．

∴AB和CD不平行；

当a≠2时，kCD＝＝.

由kAB＝kCD，得－＝，

即a2－2a－3＝0.

∴a＝3或a＝－1.

当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，

∴AB与CD平行．

当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，

kCD＝＝，

∴AB与CD重合．

∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．

答案：3

题型二　两条直线垂直的判定及应用

[探究发现]

(1)已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，应满足什么条件？若l1⊥l2，应满足什么条件？

提示：k1＝k2且b1≠b2；k1·k2＝－1.

(2)若两条直线的斜率均不存在，这两条直线位置关系如何？

提示：平行或重合．

[学透用活]

[典例2]　判断下列各题中l1与l2是否垂直．

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；

(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；

(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．

[解]　(1)∵k1＝＝2，k2＝＝，

k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．

(2)∵k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，

∴l1⊥l2.

(3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，

则l1⊥x轴．

k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.

[方法技巧]

使用斜率公式判定两直线垂直的3步骤

[对点练清]

1．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)斜率为－的直线垂直，则实数a的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C.   D.

解析：选A　易知a＝0不符合题意．当a≠0时，直线l的斜率k＝＝－，由－·＝－1，得a＝－，故选A.

2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_______．

解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，

则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，

所以·＝－1.解得x＝1或2.

所以C的坐标为(1,0)或(2,0)．

答案：(1,0)或(2,0)

题型三　两条直线平行与垂直的综合

[学透用活]

[典例3]　(1)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形

(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．

①若l1∥l2，求a的值；

②若l1⊥l2，求a的值．

[解]　(1)选C　kAB＝＝－，kAC＝＝，

∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，

∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．

(2)设直线l2的斜率为k2，

则k2＝＝－.

①若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－.

∵k1＝，∴＝－，

解得a＝1或a＝6.

经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.

②若l1⊥l2.

当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；

当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.

由k1k2＝－1可得·＝－1，

解得a＝3或a＝－4.

∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.

[方法技巧]

1．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

2．由几何图形的形状求参数的注意点

由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．

[对点练清]

　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．

解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，

由斜率公式可得kAB＝＝，

kCD＝＝，kAD＝＝－3，

kBC＝＝－.

所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，

所以AB∥CD.由kAD≠kBC，

所以AD与BC不平行．

又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，

所以AB⊥AD，

故四边形ABCD为直角梯形．

[课堂思维激活]

一、综合性——强调融会贯通

1．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．

(1)求点D的坐标；

(2)试判断平行四边形ABCD是否为菱形．

解：(1)设D(a，b)，由四边形ABCD为平行四边形，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即解得

所以D(－1,6)．

(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，

所以kAC·kBD＝－1.

所以AC⊥BD.故平行四边形ABCD为菱形．

二、应用性——强调学以致用

2.如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5 m，宽AB为3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直？

[析题建模]　建立直角坐标系，求(设)出相关点的坐标，再由两垂直直线斜率之积为－1建立方程求解．

解：如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．

由AD＝5 (m)，AB＝3 (m)，

可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．

设点M的坐标为(x,0)，

因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1.

所以·＝－1，解得x＝＝3.2，

即BM＝3.2 (m)时，两条小路所在直线AC与DM互相垂直．

[课下过关检测]

1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　 )

A．垂直　　　　　　　　 B．平行

C．重合  D．平行或重合

解析：选D　∵直线l1的斜率为tan 135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，∴直线l1与l2平行或重合．

2．[多选]如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为(　　 )

A.  B．a

C．－  D．不存在

解析：选CD　当a≠0时，由l1⊥l2，得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－.

当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，k2不存在．

3．已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　 )

A．1  B．－1

C．2  D．－2

解析：选B　因为MN∥PQ，所以kMN＝kPQ. 即＝，解得m＝－1.

4．在直角坐标平面内有两点A(4,2)，B(1，－2)，在x轴上有点C，使∠ACB＝90°，则点C的坐标是(　　 )

A．(3,0)  B．(0,0)

C．(5,0)  D．(0,0)或(5,0)

解析：选D　设C(a,0)，则·＝－1，解得a＝0或a＝5.

∴点C的坐标为(0,0)或(5,0)．故选D.

5．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　 )

A．20°，110°  B．70°，70°

C．20°，20°  D．110°，20°

解析：

选A　如图，∵l∥l1，

∴l1的倾斜角为20°，

∵l2⊥l，

∴l2的倾斜角为90°＋20°＝110°.

6．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝______.若l1∥l2，则m＝______.

解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，

若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.

若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，

∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.

答案：－2　2

7．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．

解析：由题意得l1∥l2，∴k1＝k2.

∵k1＝－，k2＝3，∴－＝3，∴a＝－6.

答案：－6

8．若过点P(a，b)，Q(b－1，a＋1)的直线与直线l垂直，则直线l的倾斜角为________．

解析：kPQ＝＝＝－1，

由kPQ·kl＝－1，得kl＝1，∴直线l的倾斜角为45°.

答案：45°

9．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．

解：因为∠A为直角，则AC⊥AB，

所以kAC·kAB＝－1，

即·＝－1，得m＝－7.

10．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；

(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．

解：(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，

解得m＝－或1.

(2)由＝3及垂直关系，得＝－，

解得m＝或－3.

(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.

1.[多选]如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1，1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　 )

A．(－3,1)  B．(4,1)

C．(－2,1)  D．(2，－1)

解析：选BCD　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即平行四边形AOBC1，平行四边形ABOC2，平行四边形AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标，故选B、C、D.

2．已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________．

解析：设P(0，y)，由∠BAP＝90°知，kAB·kAP

＝·＝＝－1，解得y＝－11.

所以点P的坐标是(0，－11)．

答案：(0，－11)

3．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2＋2)，B(0，2－2)，C(4,2)，则△ABC是________．(填△ABC的形状)

解析：因为kAB＝＝2，kCB＝＝，kAC＝＝－，kCB·kAC＝－1，所以CB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．

答案：直角三角形

4．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．

解：l1的斜率存在，且k1＝＝a，

当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.

∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.

当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，

A(－2,0)，B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2.

综上可知，实数a的值为1或0.

5．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．

解：如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，又直线AB的斜率kAB＝＝，所以线段AB的垂直平分线l2的斜率k2＝.因为l1与l2平行，所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.

2．2.1　直线的点斜式方程

知识点一　直线的点斜式方程

(一)教材梳理填空

直线的点斜式方程

　[微提醒]　当直线l的倾斜角为0°时(图1)，tan 0°＝0，即k＝0，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0，即y＝y0.

当直线l的倾斜角为90°时(图2)，由于tan 90°无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.

(二)基本知能小试

1．判断正误

(1)对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(　　 )

(2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　　 )

答案：(1)×　(2)√

2．若直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　 )

A．2　　　　　　　　　　　 B．－1

C．3  D．－3

解析：选C　由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.

3．过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线的点斜式方程为________．

解析：k＝tan 135°＝－1，

由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)．

答案：y－2＝－(x＋1)

知识点二　直线的斜截式方程

(一)教材梳理填空

1．直线在y轴上的截距

定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．

符号：可正，可负，也可为零．

2．直线的斜截式方程

(二)基本知能小试

1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是(　　 )

A．－2,3  B．3，－2

C．－2，－2  D．3,3

答案：A　

2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　 )

A．y＝x＋1  B．y＝x－1

C．y＝－x＋1  D．y＝－x－1

解析：选D　由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.

3．直线y＝(x－)的斜率与在y轴上的截距分别是(　　 )

A.，   B.，－3

C.，3  D．－，－3

解析：选B　由直线方程知直线斜率为，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3. 故选B.

题型一　直线的点斜式方程

[学透用活]

[典例1]　写出下列直线的点斜式方程．

(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；

(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；

(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．

[解]　(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．

(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.

(3)由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．

[方法技巧]

求直线的点斜式方程的方法步骤

(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．

(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．

[对点练清]

1．若一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．

解析：因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.

答案：y－5＝x－2

2．经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．

解析：因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.

答案：x＝－5

3．求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．

解：因为直线y＝x的斜率为，所以倾斜角为30°.

所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为.

所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)．

题型二　直线的斜截式方程

[学透用活]

对截距的理解

(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．

(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距. 并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．

[典例2]　(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是___________．

(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

[解]　(1)∵直线的倾斜角是60°，

∴其斜率k＝tan 60°＝，

∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，

∴直线在y轴上的截距是3或－3，

∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3.

答案：y＝x＋3或y＝x－3

(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，

又因为l∥l1，所以kl＝－2，

由题意知l2在y轴上的截距为－2，

所以直线l在y轴上的截距b＝－2，

由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.

[方法技巧]

求直线的斜截式方程的策略

(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．

(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.

[对点练清]

已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．

解：设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；

y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，

即6|b|2＝6，∴b＝±1.

故所求直线l的斜截式方程为

y＝x＋1或y＝x－1.

题型三　利用直线的斜截式方程判断两直线的关系

[学透用活]

[典例3]　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？

(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？

[解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，

∵l1∥l2，∴解得a＝－1.

故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．

(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，

∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.

故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．

[方法技巧]

判断两条直线位置关系的方法

直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.

(1)若k1≠k2，则两直线相交．

(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合．

当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．

(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．

(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．

[对点练清]

(1)求经过点(0,2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程．

(2)求经过点(－2，－2)，且与直线l1：y＝3x－5垂直的直线l2的方程．

解：(1)由l1：y＝－3x－5得k1＝－3，

由两直线平行知k2＝k1＝－3，

所以所求直线方程为y＝－3x＋2.

(2)由l1：y＝3x－5得k1＝3，

由两直线垂直知k1k2＝－1，所以k2＝－.

所以所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)．

[课堂思维激活]

一、综合性——强调融会贯通

1．求经过点A(－2,2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程．

解：因为直线的斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋2，

令x＝0，得y＝2k＋2，令y＝0，得x＝－，

由2k＋2>0，－>0，得－1<k<0，

所以(2k＋2)＝1，

解得k＝－2或k＝－，

因为－1<k<0，所以k＝－，

所以直线方程为y＝－x＋1.

二、应用性——强调学以致用

2．一根弹簧挂6 N的物体时长11 cm，挂9 N的物体时长17 cm.已知弹簧长度l(cm)和所称物体的重量G(N)的关系可用直线方程来表示，写出点斜式方程，并根据这个方程，求弹簧长度为13 cm时所挂物体的重量．

解：由题意可知，直线过(6,11)和(9,17)两点，

∴直线的斜率k＝＝2，

∴直线的点斜式方程为l－11＝2(G－6)．

当l＝13时，代入方程得G＝7，即弹簧长度为13 cm时所挂物体的重量为7 N.

3．在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？(精确到0.01 m)

[析题建模]

解：记灯柱顶端为B，灯罩处为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，

则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为.

因为∠OBA＝120°，所以直线BA的倾斜角为30°，

则点A的坐标为，

即.

因为CA⊥BA，所以kCA＝－＝－＝－.

由点斜式，得直线CA的方程是

y－＝－，

因为灯罩轴线CA过点C，

代入直线方程，解得h≈14.92(m)．

故灯柱高约为14.92 m.

[课下过关检测]

1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为(　　 )

A．y＋2＝(x－3)　　　　 B．y－2＝(x＋3)

C．y－2＝(x＋3)  D．y＋2＝(x＋3)

解析：选C　因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，由直线方程的点斜式可得方程为y－2＝(x＋3)．

2．直线y＝ax－的图象可能是(　　 )

解析：选B　由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．

3．若直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点(　　)

A．(－1,2)  B．(2,1)

C．(1，－2)  D．(1,2)

解析：选C　由两直线垂直得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)得过点为(1，－2)．故选C.

4．经过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是(　　)

A．y＝－x－3  B．y＝x＋3

C．y＝－x＋3  D．y＝x－3

解析：选C　过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程可以设为y－4＝k(x＋1)．令y＝0，得x＝－－1＝3，解得k＝－1，即所求直线方程为y＝－x＋3.

5．[多选]下列四个结论中正确的是(　　)

A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线

B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1

C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1

D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程

解析：选BC　A不正确，方程k＝不含点(－1,2)；B正确；C正确；D只有斜率k存在时成立．

6．若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的点斜式方程为________．