人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练

课时跟踪检测（三十一） 函数模型的应用

层级(一)　“四基”落实练

1．有一组实验数据如表所示：

下列所给函数模型较适合的是(　　)

A．y＝logax(a＞1)　　　 B．y＝ax＋b(a＞1)

C．y＝ax2＋b(a＞0)  D．y＝logax＋b(a＞1)

解析：选C　由表中数据可知：s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．故选C.

2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究．已知2019年“双11”期间某商品原价为a元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价10%，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格a元相比(　　)

A．相等  B．略有提高

C．略有降低  D．无法确定

解析：选C　设现价为b，则b＝a(1＋10%)2(1－10%)2＝(1－0.01)2a，则b＜a，则该商品的价格与原来价格相比略有降低，故选C.

3．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志的销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为(　　)

A．2.5元　　　　　　　　 B．3元

C．3.2元  D．3.5元

解析：选BC　设杂志的定价为x元，总销售收入为y元，

根据题意可得：y＝x

＝－25 000x2＋150 000x，

当销售收入不少于22.4万元时，－25 000x2＋150 000x≥224 000，解得2.8≤x≤3.2.结合选项知选B、C.

4.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(　　)

(参考数据：取ln 0.7＝－0.357，ln 0.93＝－0.073)

A．4  B．5

C．6  D．7

解析：选C　设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝11.2×0.93n－1.

由11.2×0.93n－1＜7.84，得0.93n－1＜0.7，

则(n－1)ln 0.93＜ln 0.7，

即n－1>＝≈4.89，

则n＞5.89，故至少需要“打水漂”的次数为6.

5．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留含量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·ekt，其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为________．

(参考数据：log52≈0.43)

解析：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，

∵P＝P0·ekt，∴(1－80%)P0＝P0·e4k，得0.2＝e4k，

即k＝－.

由0.25%P0＝P0·ekt，得0.002 5＝e－t，

∴t＝＝4log5400＝8(1＋2log52)≈14.88.

故整数n的最小值为15－4＝11.

答案：－　11

6．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)

解：因为刹车反应时间为－1秒，

所以S1＝10ln(－1＋1)＝10ln＝5，

当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，

解得b＝，即S2＝v2.

若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，

所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．

层级(二)　能力提升练

1．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于(　　)

A．lg  B．lg

C.  D．

解析：选C　由题意知a(1－8%)t＝，即(1－8%)t＝，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5，即tlg 0.92＝lg 0.5，∴t＝，故C选项是正确的．

2．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t求得，如果把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于______．(参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693)

解析：由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，

化简可得e－0.24t＝，∴－0.24t＝ln ＝－ln 3，

∴0.24t＝ln 3＝1.099，解得t≈4.58.

答案：4.58

3．遂宁市为打造最佳的宜居城市，践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设西山森林公园原来的面积为m亩，计划每年种植一些树苗，且西山森林公园面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．

(1)求西山森林公园面积的年增长率；

(2)到今年为止，西山森林公园面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

(3)为使西山森林公园面积至少达到6m亩，至少需要植树造林多少年？(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)

解：(1)设增长率为x，依题意得：m(1＋x)10＝2m，

所以(1＋x)10＝2，从而[(1＋x)10]＝2，

即1＋x＝2，解得x＝2－1，故年增长率为2－1.

(2)设已经植树造林n年，则mn＝m，

即2n＝2，解得n＝5，故已经植树造林5年．

(3)设至少需要植树造林k年，则mk≥6m，

即2k≥6，即k≥log26＝log22＋log23，解得k≥10＋10 ≈25.8，故至少需要26年．

层级(三)　素养培优练

某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．

当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

(1)试求p＝f(t)的函数关系式；

(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．

解：(1)由题意知，当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12,82)，且曲线过点(14,81)，则可得f(t)＝－(t－12)2＋82，t∈(0,14]．

又当t∈[14,45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分，且曲线过点(14,81)，

则易得a＝，则f(t)＝log(t－5)＋83，t∈[14,45]．

则p＝f(t)＝

(2)由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，

当t∈(0,14]时，令f(t)＝－(t－12)2＋82>80，

解得12－2<t≤14.

当t∈(14,45]时，令f(t)＝log(t－5)＋83>80，

解得14<t<32.

综上可得，12－2<t<32.

故老师在(12－2，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．