高中人教A版 (2019)3.4 函数的应用（一）达标测试

课时跟踪检测（二十）  函数的应用（一）

层级(一)　“四基”落实练

1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)

A．200副　　　　　　　　　 B．400副

C．600副   D．800副

解析：选D　每天的利润W(x)＝10x－y

＝10x－(5x＋4 000)＝5x－4 000.

令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.

∴为了不亏本，日产手套至少为800副．

2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：

y＝

其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)

A．15　　　　B．40          C．25　　　　D．130

解析：选C　令y＝60.若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．

3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为(　　)

A．30元   B．42元

C．54元   D．越高越好

解析：选B　设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元. 由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)·(162－3x)．上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大．

4．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为(　　)

A．300元　　　B．400元      C．700元　　　D．860元

解析：选D　设从甲仓库调到A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4，设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，由于函数y＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)为单调递减函数，所以要想使运费y最少，则需x最大，所以当x＝10时，运费y最少，为860元．故选D.

5．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．

解析：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.

故v＝35 km/h时，耗油量最少．

答案：35

6．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k(1≤k≤4，k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，其中f(x)＝根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．

(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k的值；

(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

解：(1)f(x)＝

由2分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，得k·f(2)＝k·＝3，解得k＝1.

(2)∵k＝4，∴y＝k·f(x)＝

则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥－4，∴0≤x≤4；当4＜x≤14时，由28－2x≥4，解得x≤12，∴4＜x≤12.综上可得，0≤x≤12，即只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．

层级(二)　能力提升练

1. 一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：

①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．

则一定正确的是(　　)

A．①   B．①②

C．①③   D．①②③

解析：选A　由甲、乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水；3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①一定正确，故选A.

2．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)，则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为________．

解析：由题意，设日销售额为F(t)，

①当0≤t＜20，t∈N时，

F(t)＝

＝－2＋，

故当t＝10或11时，最大值为F(t)max＝176；

②当20≤t≤40，t∈N时，

F(t)＝(－t＋41)＝(t－42)2－，

故当t＝20时，最大值为F(t)max＝161.

综合①②知，当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.

答案：176

3．某商品近一个月内(30天)预计日销量y＝f(t)(件)与时间t(天)的关系如图1所示，单价y＝g(t)(万元/件)与时间t(天)的函数关系如图2所示(t为整数)．

(1)试写出f(t)与g(t)的解析式；

(2)求此商品日销售额的最大值．

解：(1)f(t)是一次函数，过两个点(30,5)，(0,35)，

∴f(t)＝35－t(0≤t≤30，t∈Z)．

g(t)是分段函数，当0≤t≤20时，是一次函数，过两个点(20,8)，(0,3)，此时g(t)＝t＋3；

当20＜t≤30时，是一次函数，过两个点(20,8)，(30,2)，此时g(t)＝20－t.

∴g(t)＝

(2)设日销售额L(t)是天数t的函数，则有

L(t)＝f(t)·g(t)＝

当0≤t≤20时，L(t)＝，

当t＝11或12时，L(t)最大值为138万元．

当20＜t≤30时，L(t)＝在(20,30]是减函数，

故L(t)＜L(20)＝120万元．

∵138＞120，

∴0≤t≤30时，当t＝11或12时，L(t)最大值为138万元．

答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元．

层级(三)　素养培优练

1.在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m3)随时间t(h)变化的规律可表示为y＝(a＞0)，如图所示，则a＝________；实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入．

解析：由图可知，当t＝时，y＝1，则1＝a，即a＝2；

则y＝由题意可得，得t≥.

则为了不使人体受到该药物的伤害，使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入．

答案：2　

2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．

解：(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k＝40，因此C(x)＝(0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

(2)法一：令t＝3x＋5(0≤x≤10)，则5≤t≤35，将f(x)变形得函数h(t)＝＋2t－10(5≤t≤35)．令5≤t1<t2≤35，则h(t1)－h(t2)＝(t1－t2)，则当5≤t1<t2≤20时，h(t1)－h(t2)＝(t1－t2)>0；当20≤t1<t2≤35时，h(t1)－h(t2)＝(t1－t2)<0.所以h(t)＝＋2t－10(5≤t≤35)在区间[5,20]上单调递减，在区间[20,35]上单调递增，所以当t＝20时，h(t)min＝70，即当t＝3x＋5＝20，x＝5时，f(x)min＝70.所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，为70万元．

法二：f(x)＝＋6x＝＋6x＋10－10≥2－10＝2×40－10＝70，当且仅当6x＋10＝40，即x＝5时取等号．故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，为70万元．