阶段验收评价（三） 函数的概念与性质 试卷

阶段验收评价（三） 函数的概念与性质

 (时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　　　 B．[1，＋∞)

C．[1,2)   D．[1,2)∪(2，＋∞)

解析：选D　根据题意有解得x≥1且x≠2.

2．函数f(x)＝的值域是(　　)

A．R   B．[0，＋∞)

C．[0,3]   D．[0,2]∪{3}

解析：选D　当x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝|x|   B．y＝3－x

C．y＝   D．y＝－x2＋4

解析：选A　B中函数非奇非偶，C中函数是奇函数，均不符合题意，A、D中函数均为偶函数，A中函数在(0，＋∞)上递增，D中函数在(0，＋∞)上递减，因此A中函数符合题意，故选A.

4．已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是(　　)

A．f(－2)>f(1)   B．f(－2)<f(1)

C．f(2)＝f(1)   D．f(－2)>f(－1)

解析：选B　由幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故选B.

5．已知函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围是(　　)

A.∪(2，＋∞)   B．[2,6)

C.∪[2,6)   D．(0,6)

解析：选C　函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，

若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得0＜a≤或2≤a＜6，

所以实数a的取值范围是∪[2,6)．

6.已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是(　　)

A．(－2，－1)∪(1,2)

B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)

D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)

解析：选D　当x>0时，f(x)<0由图象关于原点对称，

∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；当x<0时，f(x)>0，

∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．∴选D.

7．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有(　　)

A．最小值－8   B．最大值－8

C．最小值－6   D．最小值－4

解析：选D　∵f(x)和g(x)都是奇函数，∴f(x)＋g(x)也是奇函数．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.

8．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为(　　)

A．g<g(0)<g(3)　　　 B．g(0)<g<g(3)

C．g<g(3)<g(0)　　　 D．g(3)<g<g(0)

解析：选A　由题意得解得a＝1，

所以f(x)＝x2＋2，

所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.

因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，

所以g(0)＝g(2)．又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，

所以g<g(2)<g(3)，所以g<g(0)<g(3)．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：选ABC　函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值－4，x＝m时有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.

则当m＞2时，最小值为－8，而f(0)＝－4，由对称性可知，m≤4.

∴实数m的值可能为2,3,4.

10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的最大值为

B．f(x)在(－1,0)上单调递增

C．f(x)＞0的解集为(－1,1)

D．f(x)＋2x≥0的解集为[0,3]

解析：选AD　当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－2＋，∴f(x)的最大值为，A正确；

f(x)在上单调递减，B错误；

f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C错误；

当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0,3]，

当x＜0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．

11．下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1]

B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个

C．若A∪B＝B，则A∩B＝A

D．函数f(x)的定义域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的定义域为[－3,1]

解析：选BCD　由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，A错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，B正确；由A∪B＝B得，A⊆B，从而A∩B＝A，C正确；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确．故选B、C、D.

12．狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)＝

被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是(　　)

A．若x是无理数，则D(D(x))＝0

B．函数D(x)的值域是[0,1]

C．D(－x)＝D(x)

D．若T≠0且T为有理数，则D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立

解析：选CD　对于A，∵当x为有理数时，D(x)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，∴当x为有理数时，D(D(x))＝D(1)＝1；当x为无理数时，D(D(x))＝D(0)＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有D(D(x))＝1，故A不正确；

对于B，函数D(x)的值域为{0,1}不是[0,1]，故B不正确；

对于C，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有D(－x)＝D(x)，故C正确；

对于D，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R 恒成立，故D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若函数f(x)＝x2＋2bx－3a＋1为定义在[2a－10,3a]上的偶函数，则aa＋b＝________.

解析：根据题意，函数f(x)的定义域为[2a－10,3a]，则2a－10＋3a＝0，解得a＝2，

所以f(x)＝x2＋2bx－5，是二次函数，其对称轴x＝－b，必有x＝－b＝0，即b＝0，

则aa＋b＝22＋0＝4.

答案：4

14．若函数g(x)＝f(2x)－x2是奇函数，且f(1)＝2，则f(－1)＝________.

解析：根据题意，函数g(x)＝f(2x)－x2，则g＝f(1)－，g＝f(－1)－，

函数g(x)＝f(2x)－x2是奇函数，则有g＋g＝0，

即＋＝f(1)＋f(－1)－＝0，又由f(1)＝2，则f(－1)＝－.

答案：－

15．已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米，若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为________米．

解析：由汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，可设y＝kv2(k≠0)，

当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米，

∴20＝3 600k，解得k＝，∴y＝v2，

当v＝90千米/时时，y＝×902＝45米，

故答案为45.

答案：45

16．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.

解析：f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.

答案：－16

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．

解：设∀x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵x－1<0，x－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，

∴>0.

∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是减函数；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数．

18．(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝

(1)若F(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

解：(1)由已知可知：

解得

则F(x)＝

(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，

所以g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，

则g(x)的对称轴为x＝.

由于g(x)在[－2,2]上是单调函数，

故≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6.

所以实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．

19．(12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，点O为线段AB的中点，动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点P运动过的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB围成的图形面积为f(x)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f(x)＝2，求x的值．

解：(1)当x∈[0,1]时，f(x)＝·OB·x＝x；

当x∈(1,5]时，f(x)＝＝(x＋1)；

当x∈(5,6]时，f(x)＝4×1－×2×(6－x)＝x－2.

所以f(x)＝

(2)若f(x)＝2，显然1<x≤5，

所以f(x)＝(x＋1)＝2，解得x＝3.

20．(12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足如下函数：R(x)＝其中x是仪器的产量．

(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)

(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？

解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20 000＝

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，

即当x＝300时，f(x)有最大值25 000，

当x>400时，f(x)<20 000.

综上可知，当产量为300台时，公司获得最大利润25 000元．

21．(12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝－.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.

解：(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，

∴f(0)＝0，∴b＝0，

∴f(x)＝.

又f＝－，

∴＝－，

∴a＝－1，

∴f(x)＝－.

(2)f(x)在(－1,1)上是减函数．证明如下：

设x1∈(－1,1)，x2∈(－1,1)，且x2－x1>0，

∴x1x2<1，

则f(x2)－f(x1)＝－＋

＝.

∵x2－x1>0，x1x2－1<0，x＋1>0，x＋1>0，

∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．

∴函数f(x)在(－1,1)上是减函数．

(3)∵f(t－1)＋f(t)<0，

∴f(t－1)<－f(t)．

∵f(x)是奇函数，

∴f(－t)＝－f(t)，

∴f(t－1)<f(－t)．

∵f(x)在(－1,1)上是减函数，

∴

即不等式的解集为.

22．(12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.

(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；

(2)若函数f(x)在 [－1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；

(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

解：(1)f(x)＝－2－m＋，

则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0，

解得m＝0或m＝4.

(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，

要使f(x)在[－1,0]上单调递减，应满足≤－1，

解得m≤－2，

故实数m的取值范围为(－∞，－2]．

(3)①当≤2即m≤4时，f(x)在 [2,3]上单调递减．

若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，

则即此时无解．

②当≥3即m≥6时，f(x)在[2,3]上单调递增，

则即解得m＝6.

③当2<<3即4<m<6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x＝处取最大值，

则f＝－2＋m·－m＝3，

解得m＝－2或6，不符合题意，舍去．

综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在 [2,3]上的值域恰好是[2,3]．