高中数学高考课时跟踪检测（十三） 函数模型及其应用 作业

课时跟踪检测（十三）  函数模型及其应用

1．有一组实验数据如下表所示：

下列所给函数模型较适合的是(　　)

A．y＝logax(a>1)　　　 B．y＝ax＋b(a>1)

C．y＝ax2＋b(a>0)  D．y＝logax＋b(a>1)

解析：选C　由题表中数据可知，s随t的增大而增大且增长速度越来越快，A、D中的函数的增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数在x>1时，y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．故选C.

2．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A．y＝100x  B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x  D．y＝100log2x＋100

解析：选C　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.

3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)

A.  B．

C.  D．－1

解析：选D　设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.

4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．6  B．7

C．8  D．9

解析：选CD　设经过n次过滤这种溶液的含量达到市场要求，则×n≤，即n≤，

两边取对数得nlg≤－lg 20，

即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，

得n≥≈7.4，故选C、D.

5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)

A．1.2天  B．1.8天

C．2.5天  D．3.5天

解析：选B　∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.

由题意，累计感染病例数增加1倍，

则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，

∴e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，

解得t2－t1≈1.8，故选B.

6．(2021·安徽淮北月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，若为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分为2组，选其中一组4人的样本混合检查……依此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过检测的次数为(　　)

A．3  B．4

C．6  D．7

解析：选B　先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分为2组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分为2组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性，则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B.

7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12)，不考虑树的粗细．现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　)

解析：选B　设AD长为x，则CD长为16－x.

又因为要将P点围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.

则矩形ABCD的面积为x(16－x)．

当0<a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64.

当8<a<12时，u＝a(16－a)．

所以u＝分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近．故选B.

8．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为(　　)

A．13立方米  B．14立方米

C．15立方米  D．16立方米

解析：选C　设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝即y＝易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15，故选C.

9.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为(　　)

A．[2,4]  B．[3,4]

C．[2,5]  D．[3,5]

解析：选B　根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝  x，所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，由得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．故选B.

10．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)

A．5千米处  B．4千米处

C．3千米处  D．2千米处

解析：选A　设仓库应建在离车站x千米处．因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m(m>0)，则y1＝.当x＝10时，y1＝＝2，所以m＝20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y2＝nx，当x＝10时，y2＝10n＝8，所以n＝.所以两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋≥     2 ＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.

11．中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史，考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 7≈0.85，lg 3≈0.48)

解析：∵N＝N0·2，∴当t＝5 730时，N＝N0·2－1＝N0.∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的.

由题意可知2>，

两边同时取以2为底的对数得，log22>log2，

∴>＝≈－1.2，∴t<6 876，

∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．

答案：　6 876

12．已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数且a>0)，广告效应D＝a－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)

解析：由题意得D＝a－A＝－2＋，且A≥0，∴当＝，即A＝时，D最大，最大为.

答案：

13．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt，P0为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．

解析：由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10.

答案：10

14.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.

解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1 808－2 ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝＝45.

答案：45

15．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．

(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

解：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；

当4<x≤20时，设v＝ax＋b，

显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，

由已知得解得

所以v＝－x＋，故函数v＝

(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，f(x)＝

当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；

当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.

所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．

16．某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W(吨)与时间t(单位：小时，规定早晨六点时t＝0)的函数关系为W＝100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在供应时同时打开进水管，问该天进水量应选择第几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？

解：设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加上进水量10nt吨，减去生活用水10t吨，再减去生产用水W＝100吨，

即y＝100＋10nt－10t－100(0<t≤16)．

若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<y≤300，即0<100＋10nt－10t－100≤300，

所以－＋＋1<n≤＋＋1对一切t∈(0,16]恒成立．

因为－＋＋1＝－102＋≤，

＋＋1＝202－≥，

所以<n≤，即n＝4.即进水量应选择第4级．

17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；

(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，

则该函数模型满足的条件是：

①当x∈[10,100]时，f(x)是增函数；

②当x∈[10,100]时，f(x)≤5恒成立；

③当x∈[10,100]时，f(x)≤恒成立．

(2)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，

它在[10,100]上是增函数，满足条件①；

但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②，故该函数模型不符合公司要求．

对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①；

x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②；

设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，

又x∈[10,100]，所以≤≤，

所以h′(x)≤－<－＝0，

所以h(x)在[10,100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝log210－4<0，即f(x)≤恒成立，满足条件③.

故该函数模型符合公司要求．

综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求．