第七章测评卷

第七章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2021浙江丽水期末)复数(2-i)i的虚部为(　　)

A.-1 B.1 C.2 D.2i

答案C

解析复数(2-i)i=1+2i,故它的虚部为2.

2.(2021新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(+i)=(　　)

A.6-2i B.4-2i

C.6+2i D.4+2i

答案C

解析∵z=2-i,∴=2+i.∴+i=2+2i.∴z(+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.故选C.

3.(2021全国乙卷)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= (　　)

A.1-2i B.1+2i

C.1+i D.1-i

答案C

解析设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.

4.(2021广东天河期末)复平面内的平行四边形OABC的顶点A和C(O是坐标原点)对应的复数分别为4+2i和-2+6i,则点B对应的复数为(　　)

A.2+6i B.2+8i

C.6+2i D.8+2i

答案B

解析∵,∴点B对应的复数为4+2i+(-2+6i)=2+8i.故选B.

5.(2021湖北黄陂校级模拟)若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在(　　)

A.实轴上 B.虚轴上

C.第一象限 D.第二象限

答案B

解析由于|z-1|=|z+1|,故复数z在复平面内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,故复数z对应的点在虚轴上.故选B.

6.(2021福建仓山校级期中)已知复数z满足|z-i|=1,则|z-3-5i|的最大值是(　　)

A.8 B.7 C.6 D.5

答案C

解析设z=a+bi(a,b∈R),∵|z-i|=1,∴|z-3-5i|的最大值即为圆a2+(b-1)2=1的圆心(0,1)与点(3,5)的距离加半径1,即为+1=5+1=6,故|z-3-5i|的最大值是6.故选C.

7.复数z满足2=z(2-i),则|z|=(　　)

A.1 B.1或3

C.2 D.0或2

答案D

解析∵2==z(2-i),∴=|z|·|2-i|=·|z|,则|z|2=2|z|,解得|z|=0或|z|=2.故选D.

8.(2021吉林白城期末)已知z的共轭复数=1+3i,且-z0=|z-i|,则|z0|的最大值为(　　)

A. B.

C.2 D.2

答案A

解析∵=1+3i,∴z=1-3i,则z-i=1-4i,=2-i,∴|z0-(2-i)|=.设z0=x+yi(x,y∈R),则点P(x,y)的集合是以(2,-1)为圆心,为半径的圆,故|z0|=的最大值为.故选A.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.(2021重庆期末)若复数z1=2+3i,z2=1-i,则下列说法正确的是(　　)

A.在复平面内对应的点位于第四象限

B.若z1+a(a∈R)是纯虚数,那么a=-2

C.z1z2=-1+i

D.若z1,z2在复平面内对应的向量分别为(O为坐标原点),则||=

答案ABD

解析=2-3i在复平面内对应的点为(2,-3),位于第四象限,故A正确;∵z1+a=2+3i+a是纯虚数,∴a+2=0,解得a=-2,故B正确;z1z2=(2+3i)(1-i)=5+i,故C错误;||=|z2-z1|=|1-i-(2+3i)|=,故D正确.故选ABD.

10.(2021福建福州期中)已知复数z满足z=-1+i2 021,则下列关于复数z的结论正确的是(　　)

A.|z|=

B.复平面内表示复数z的点位于第二象限

C.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根

D.复平面内表示复数z的点与表示复数z1=1+2i的点之间的距离为

答案ABC

解析∵i2 021=i·i2 020=i,∴z=-1+i2 021=-1+i,|z|=,故A正确;复平面内表示复数z的点为(-1,1),位于第二象限,故B正确;∵(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,∴复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故C正确;∵|z-z1|=|-1+i-1-2i|=|-2-i|=,故复平面内表示复数z的点与表示复数z1=1+2i的点之间的距离为,故D错误.故选ABC.

11.(2021福建仓山校级期中)已知z1,z2是复数,则下列结论正确的是(　　)

A.若>0,则>-

B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2

C.||=||2

D.非零复数z3,满足z1z3=z2z3,则z1=z2

答案CD

解析对于A,设z1=2-i,z2=2+i,则=3-4i,=3+4i,满足>0,但不能比较大小,故A错误;对于B,设z1=2-i,z2=2+i,则|z1-z2|=2,(z1+z2)2-4z1z2=-4,故B错误;对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),则=a2-b2+2abi,||==a2+b2,=a-bi,||=,则||2=a2+b2,故C正确;对于D,因为z1z3=z2z3,且z3是非零复数,所以两边同时除以z3得z1=z2,故D正确.故选CD.

12.(2021江苏扬州期末)已知实数x,a,b和虚数单位i,定义:复数z0=cos x+isin x为单位复数,复数z1=a+bi为伴随复数,复数z=z0z1=f(x)+g(x)i为目标复数,目标复数的实部f(x)和虚部g(x)分别为实部函数f(x)和虚部函数g(x),则下列说法正确的有(　　)

A.f(x)=acos x-bsin x

B.g(x)=asin x-bcos x

C.若f(x)=2sin-x,则a=,b=-1

D.若a=,b=-1且g(x)=,则锐角x的正弦值sin x=

答案AD

解析因为z=z0z1=f(x)+g(x)i=(acos x-bsin x)+(asin x+bcos x)i,所以f(x)=acos x-bsin x,g(x)=asin x+bcos x,故A正确,B错误;因为f(x)=2sin-x=cos x-sin x,所以a=,b=1,故C错误;因为g(x)=asin x+bcos x=sin x-cos x=2sinx-=,所以sinx-=,又因为x为锐角,则x-∈-,所以cosx-=,故sin x=sinx-+=sinx-cos+cosx-sin,故D正确.故选AD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2021四川遂宁模拟)复数z=1-i(其中i为虚数单位),则|z+3i|=　　　　. 

答案

解析∵z=1-i,∴z+3i=1-i+3i=1+2i,

则|z+3i|=|1+2i|=.

14.(2021上海虹口校级期末)在复平面内,复数6-5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是　　　　. 

答案2-i

解析∵复数6-5i,-2+3i在复平面内对应的点分别为A,B,∴A(6,-5),B(-2,3).

∵C为线段AB的中点,∴C(2,-1),

∴点C对应的复数是2-i.

15.(2021上海奉贤期末)如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,其中i是虚数单位,则pq=　　　　. 

答案-10

解析1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,则1+2i也是方程的根,

所以解得所以pq=-10.

16.复平面上两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,z2,它们满足下列两个条件:①且z2=z1·2i;②两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为3+4i,则△Z1OZ2的面积为　　　　. 

答案20

解析设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1·2i=(a+bi)·2i=-2b+2ai,∴Z1(a,b),Z2(-2b,2a).

又两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为3+4i,

∴

解得∴||==2,

||==4.

又,∴△Z1OZ2的面积为S=×2×4=20.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2021江苏江阴校级月考)已知复数z=+(m2-2m-15)i(i是虚数单位).

(1)若复数z是纯虚数,求实数m的值;

(2)若z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.

解(1)复数z是纯虚数,则=0且m2-2m-15≠0,解得m=3.

(2)z在复平面上对应的点位于第四象限,则>0且m2-2m-15<0,解得3<m<5,所以实数m的取值范围为(3,5).

18.(12分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.

(1)求复数z和|z|;

(2)若z1=i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.

解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则b+2=0,解得b=-2.

因为i为实数,所以=0,解得a=4.

所以z=4-2i,|z|=2.

(2)z1=4++2-i对应的点在第四象限,则解得-2<m<,或1<m<.

故实数m的取值范围为.

19.(12分)已知复数z满足|z|+-8-4i=0(i为虚数单位).

(1)求复数z;

(2)若m∈R,ω=zi+m,求|ω|的取值范围.

解设z=a+bi(a,b∈R).

(1)由|z|+-8-4i=0,得+a-bi-8-4i=0,

则解得∴z=3-4i.

(2)|ω|=|(3-4i)i+m|=|4+m+3i|=,∵m∈R,∴|ω|≥3,故|ω|的取值范围是[3,+∞).

20.(12分)(2021陕西宝塔校级期末)已知复数z满足z+4为纯虚数,且为实数.若复数(z+mi)2在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.

解设z=x+yi(x,y∈R),则z+4=(x+4)+yi.

∵z+4为纯虚数,∴x+4=0且y≠0,即x=-4,y≠0.

又i∈R,

∴2y-4=0,即y=2.∴z=-4+2i.

∵m为实数,且(z+mi)2=[-4+(m+2)i]2=(12-4m-m2)-8(m+2)i,由题意知解得-2<m<2.

∴实数m的取值范围为(-2,2).

21.

(12分)(2021安徽蜀山校级期中)如图,已知复平面内平行四边形ABCD中,点A对应的复数为-1,对应的复数为2+2i,对应的复数为4-4i.

(1)求点D对应的复数;

(2)求平行四边形ABCD的面积.

解(1)设点D在复平面内对应的复数为x+yi(x,y∈R),则=(x+1,y).

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴,解得x=3,y=-4,故点D对应的复数为3-4i.

(2)=(2,2),=(4,-4),可得=0,

∴.

又||=2,||=4,

∴平行四边形ABCD的面积S=2×4=16.

22.(12分)(2021四川武侯校级期中)设复数z1=1-i,z2=cos θ+isin θ,其中θ为锐角.

(1)若复数z=在复平面内对应的点在直线y=2x上,求tan θ的值;

(2)求|+z2|的取值范围(其中是z1的共轭复数).

解(1)因为复数z1=1-i,z2=cos θ+isin θ,

所以z=

=i;

由z在复平面内对应的点在直线y=2x上,

所以=cos θ-sin θ,即3sin θ=cos θ,

所以tan θ=.

(2)因为+z2=(1+i)+(cos θ+isin θ)=(1+cos θ)+(1+sin θ)i,

所以|+z2|2=(1+cos θ)2+(1+sin θ)2=3+2(sin θ+cos θ)=3+2sinθ+.

又因为θ为锐角,所以θ+∈,

所以sinθ+∈,1,

所以3+2sinθ+∈(5,3+2],

所以|+z2|的取值范围是(+1].