必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品课时练习

第八章立体几何初步

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.如图所示,用符号语言可表示为(　　)

A.α∩β=l B.α∥β,l∈α

C.l∥β,l⊄α D.α∥β,l⊂α

答案D

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

答案B

解析如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.

3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是(　　)

A.直线AM与CC1是相交直线

B.直线AM与BN是平行直线

C.直线BN与MB1是异面直线

D.直线AM与DD1是异面直线

答案CD

解析直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.

4.如果空间的三个平面两两相交,那么(　　)

A.不可能只有两条交线 B.必相交于一点

C.必相交于一条直线 D.必相交于三条平行线

答案A

解析空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.

5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点(　　)

A.有有限个 

B.有无数个

C.不存在 

D.不存在或有无数个

答案D

解析如图,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.

6.以下说法正确的是(　　)

A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交

B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交

C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行

D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交

答案D

解析若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有　　　　　条. 

答案6

解析由异面直线的定义,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.

8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是　　　　　　　　　　　. 

答案相交或平行

解析因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).

9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 

答案6

解析如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.

10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?

解∵B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,

∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.

∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,

∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.

同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.

关键能力提升练

11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是(　　)

A.b∥α

B.b与α相交

C.b⊂α

D.以上三种情况都有可能

答案D

解析若a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.

12.(多选题)以下结论中,正确的是(　　)

A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行

B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行

C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行

D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行

答案BC

解析如图①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;

如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.

13.(多选题)下列说法中正确的是(　　)

A.若直线a不在平面α内,则a∥α

B.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α

C.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点

D.平行于同一平面的两直线可以相交

答案CD

解析A中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;

B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;

C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;

D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.

14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中(　　)

A.AB∥CD B.AB与CD相交

C.AB⊥CD D.AB与CD异面

答案D

解析由平面展开图还原原正方体如图,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.

15.下列命题正确的有　　　　.(填序号) 

①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;

②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;

③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;

④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.

答案①③④

解析①显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.

16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.

解a∥b,a∥β.

证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,

由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.

∵α∥β,a⊂α,b⊂β,

∴a,b无公共点.

又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.

∵α∥β,∴α与β无公共点.

又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.

学科素养创新练

17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是(　　)

A.平面α内的所有直线与a异面

B.平面α内不存在与a平行的直线

C.平面α内存在唯一的直线与a平行

D.平面α内的直线与a都相交

答案B

解析由条件知直线a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.

18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是(　　)

A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线

B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线

C.若α∥β,a⊂α,则a∥β

D.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交

答案AC

解析A中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.