人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示精品达标测试

第5讲 复数的三角表示

知识点1 复数的三角表达式

1.定义：

r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

注意：复数三角形式的特点

模非负，角相同，余弦前，加号连

2．非零复数z辐角θ的多值性

以x轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．

3.辐角主值

(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．

(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．即 0≤arg z<2π.

(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．

知识点2  复数的代数形式与三角形式的互化

复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为

知识点3 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．

知识点4 复数三角形式的乘法及其几何意义

设 、的三角形式分别是：

    简记为 ：模数相乘，幅角相加.

几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

知识点5 复数三角形式的除法及其几何意义

设 、的三角形式分别是：

简记为 ：模数相除，幅角相减

几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．

考点一 复数代数形式表示成三角形式

解题方略：

复数代数形式表示成三角形式的方法

先由复数确定点(a，b)所在的象限，而a，b的符号决定角θ的终边所在的象限，然后由tan θ＝确定θ角的大小．对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角，可灵活运用三角公式化为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意．　　　

【例1】下列复数是复数三角形式表示的是(　　)

A.　　 B．－

C.  D．cosπ＋isinπ

变式1：复数2＋2i的三角形式为________________．

变式2：若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

变式2：复数z＝isin 10°的三角形式是(　　)

A．cos 10°＋isin 10°   B．isin 10°  C．sin 10°(cos 90°＋isin 90°)   D．sin 10°(cos 0°＋isin 0°)

变式3：复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是(　　)

A．sin 30°＋icos 30°  B．cos 160°＋isin 160°

C．cos 30°＋isin 30°  D．sin 160°＋icos 160°

变式4：若a<0，则a的三角形式为(　　)

A．a(cos 0＋isin 0)　　　B．a(cos π＋isin π)

C．－a(cos π＋isin π)  D．－a(cos π－isin π)

变式5：已知复数满足，且，则的三角形式为__________．

【例2】复数的三角形式转化为代数形式．

变式1：复数10表示成代数形式为________．

变式2：在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).

考点二 复数三角形式的概念

解题方略：

明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础，另外掌握复数三角形式的乘、除运算法则是关键．　　

【例3】如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（       ）

A．辐角唯一 B．辐角主值唯一

C．辐角主值为 D．辐角主值为

变式1：若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________.

【例4】复数－i的辐角主值为(　　)

A.       B.π         C.π  D.π

变式1：复数的辐角主值是（       ）

A． B． C． D．

变式2：复数的一个幅角为（       ）

A． B． C． D．

变式3：复数cos＋isin的辐角主值是________．

变式4：把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（       ）

A．， B． C． D．

变式5：已知z＝1＋i，求复数ω＝的模和辐角主值，并写出复数的三角形式．

变式6：已知z＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)，求arg z.

变式7：已知z＝4，则的辐角主值为________．

变式8：复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（       ）

A． B． C． D．

变式9：已知复数－3＋4i的辐角主值为α，复数3－4i的辐角主值为β，则α－β＝________.

变式10：复数z＝(a＋i)2的辐角主值为，则实数a＝________.

变式11：设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（       ）

A．     B．      C． D．

考点三 复数三角形式乘法运算及几何意义

解题方略：

涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围．　

【例5】（       ）

A． B． C． D．

变式1：计算：

（1）8(cosisin)•2(cosisin)；

（2）[12(cosisin)]4；

（3）(cos240°+isin240°)•(cos60°+isin60°)；

变式2：已知复数z1＝2，z2＝，求z1z2.

变式3：已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值．

变式4：如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．

变式5：已知复数z1，z2，满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝，则z1z2＝________.

【例6】将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．

变式1：在复平面内，将复数＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为________．

考点四 复数三角形式除法运算及其几何意义

解题方略：

在进行复数三角形式的除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按除法法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示．　　　

【例7】计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝________.

变式1：计算的值．

变式2：计算：2÷.

变式3：（       ）

A． B． C． D．

变式4：向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是(　　)

A．负实数  B．纯虚数

C．正实数  D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)

变式5：设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

考点五 复数三角形式的应用

【例8】复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（       ）

A． B． C． D．

【例9】已知复数，满足，，则______.

变式1：已知复数满足，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

练习一 复数代数形式表示成三角形式

1、复数的三角形式为__________．

2、将下列复数表示成三角形式

(1)tan θ＋i，θ∈；

(2)1＋cos α＋isin α，α∈[0,2π)．

3、的三角形式是（       ）

A． B．

C． D．

4、把下列复数表示成代数形式：

(1)4；(2)2.

5、复数的代数形式是_____________.

6、在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（       ）

A． B．

C． D．

7、棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

练习二 复数三角形式的概念

1、复数的辐角主值是（       ）

A．－40° B．310° C．50° D．130°

2、复数的辐角主值为__________．

3、任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（       ）

A． B． C． D．

4、复数的辐角主值为________.

5、若复数的辐角为，的辐角为，则______．

6、已知z＝cos θ－sin θ＋＋i(cos θ＋sin θ)．

(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；

(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示)．

练习三 复数三角形式乘法运算及几何意义

1、（       ）

A． B． C． D．

2、已知，则（       ）

A． B． C． D．

3、计算：________.

4、（       ）

A． B． C． D．

5、【多选】已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（       ）

A． B．   C．    D．

6、已知，将按逆时针方向旋转得到，则Z点对应的复数为________.

7、若复数，，则的辐角的主值为______．

练习四 复数三角形式除法运算及其几何意义

1、（       ）

A． B． C． D．

2、（       ）

A．3 B． C． D．

3、将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是

A． B． C． D．

4、÷()=_____.

5、设复数，，则的辐角主值为__________．

练习五 复数三角形式的应用

1、已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.