高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优秀当堂达标检测题

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第4讲 复数的乘、除运算

知识点1 复数的乘法及其运算律
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
注：对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.

知识点2 共轭复数
1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数
2、表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi

知识点3 复数的除法
1、复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
注：对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
2、记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②＝－i，＝i；③＝－i.







考点一 复数代数表示式的乘法运算
解题方略：
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R);
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.　　　　
【例1】i(2＋3i)＝(　　)
A．3－2i　 　 B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i

变式1：若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2等于(　　)
A．4＋2i　　　　　　　 B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i

变式2：计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i

变式3：下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
变式4：设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【例2】(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512

变式1：i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．

变式2：若是虚数单位，则__________.

变式3：已知，则复数的虚部为_________．

【例3】设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．

变式1：【多选】已知复数满足，则可能为（       ）.
A．0 B． C． D．

【例4】已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式1：若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

考点二 共轭复数
【例5】设z＝i(2＋i)，则＝(　　)
A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i



变式1：设复数，且，则的虚部为（       ）
A． B． C． D．

变式2：已知复数z满足，则z的虚部是（       ）
A．-1 B．1 C． D．

变式3：已知，则（       ）
A． B．
C． D．

变式4：若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（       ）
A． B．1 C． D．2

变式5：已知复数z满足：，则（       ）
A． B． C． D．

变式6：设复数（是虚数单位），则的值为（       ）
A． B． C． D．

变式7：已知复数的实部为，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式8：若为复数z的共轭复数，则下列判断不正确的是（       ）．
A． B．若，则复数z为纯虚数或
C． D．复数z与其共轭复数在复平面内所对应的点关于实轴对称

考点三 复数代数表示式的除法运算
解题方略：
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.　　　　

【例6】若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

变式1：计算：＝________.

变式2：若i是虚数单位，则等于(　　)
A.－i B.＋i C.＋i D.－i

变式3：复数＝(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i

变式4：已知i为虚数单位，则（       ）
A． B． C．－2 D．2

变式5：已知＝－i，则复数z＝________.

变式6：已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)
A．－2i B．2i C．－2 D．2
【例7】已知复数(为虚数单位)，则z的虚部为___________.

变式1：已知复数z满足，(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为（       ）
A．1 B． C． D．

变式2：复数的实部与虚部之和为（       ）
A． B． C． D．

【例8】设为虚数单位，，若复数是纯虚数，则实数（       ）
A． B．2 C． D．1

变式1：已知a∈R，复数为纯虚数，则a＝（       ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2

变式2：已知复数，则“”是“z是纯虚数”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式3：若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

变式4：若复数为纯虚数，则（       ）
A． B．5 C． D．2

【例9】设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B. C. D．1


变式1：已知复数满足，其中为虚数单位，则（       ）
A． B． C． D．

变式2：若复数，则（       ）
A． B． C． D．

变式3：若复数，则复数的模是（       ）
A．1 B． C． D．2

变式4：若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)
A．2 B. C. D．1

【例10】的共轭复数为（       ）
A． B． C． D．

变式1：已知是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部是（       ）
A． B． C． D．1

变式2：设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________.

变式3：【多选】若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是
A．的虚部为 B．
C．为纯虚数 D．的共轭复数为

变式4：【多选】设有下面四个命题，其中为真命题的是(　　)
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R

【例11】复数在复平面内对应点所在的象限为（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

变式1：如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点四 复数范围内方程根的问题
解题方略：
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝；
(2)当Δ<0时，x＝.　　　　
【例12】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．

变式1：在复数范围内解一元二次方程x2－2x＋5＝0.

变式2：已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．


练习一 复数代数表示式的乘法运算
1、【多选】下列命题错误的是（       ）
A．是纯虚数 B．
C．若，则 D．若，则

2、设复数，（i是虚数单位，），若，则______．

3、已知复数，（i是虚数单位，），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．
4、已知复数是纯虚数，满足（为虚数单位），则实数的值是（       ）
A． B． C． D．
5、若复数z满足，则　　
A． B． C． D．

6、已知复数为虚数单位，则（       ）
A． B．2 C．4 D．6
7、若，其中a，，是虚数单位，则（       ）
A． B． C． D．

8、已知，，(i为虚数单位)，则（       ）
A． B．1 C． D．3
9、设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.
10、已知复数z满足（其中为虚数单位），则（       ）
A． B． C． D．
11、已知复数z满足，则z＝（       ）
A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i
12、已知复数z满足，则（       ）
A．5 B．4 C． D．2
13、已知复数（i为虚数单位），则（       ）
A． B． C． D．
14、设，则（       ）
A． B． C．1 D．
15、设复数，且，则的虚部为（       ）
A． B． C． D．
16、已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
17、已知复数．
（1）求复数的共轭复数及；
（2）求复数是纯虚数，求实数的值．
练习二 共轭复数
1、在下列命题中，①若为复数，则为非负数；②互为共轭的两个复数的差为纯虚数；③若（，），则（是虚数单位），一定正确的个数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3

2、复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(     )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、若，则（       ）
A． B． C． D．
5、设（i为虚数单位），则（       ）
A．25 B．5 C．13 D．
6、【多选】已知复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是（       ）
A．在复平面内对应的点位于第二象限 B．
C．的实部为 D．的虚部为

练习三 复数代数表示式的除法运算

1、复数的虚部是（       ）
A． B． C． D．
2、已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（       ）.
A． B． C． D．
3、已知复数，则复数的虚部为（       ）.
A． B．1 C． D．
4、若复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部为（       ）
A． B． C．2 D．

5、已知复数为纯虚数，则实数_______________
6、若复数，其中为虚数单位，则（       ）
A． B． C． D．
7、若复数（为虚数单位），则（       ）
A． B． C． D．
8、复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9、已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10、在复平面内，复数z所对应点的坐标为，则（       ）
A． B． C． D．
11、复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12、 计算：(1)；(2)(＋i)5＋4＋7 ；
(3) ；(4)＋－.

13、在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
14、复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

练习四 复数范围内方程根的问题
1、已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为（       ）
A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3


2、若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ）.
A． B． C． D．

3、方程在复数集内解的个数为（       ）.
A． B． C． D．

4、若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．

5、已知方程有两个虚根，，若，则m的值是___________.

6、若是实系数一元二次方程的一个根，则______．

7、若是关于x的实系数方程的一个根，则_______．

8、已知为方程（a，b为实数）的根，则____________.

9、在复数范围内解下列方程：
(1)；
(2)．

10、已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.