人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示精品复习练习题

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第5练 复数的三角表示                                                                                                                                                                        一、单选题1．复数的辐角主值是（       ）A． B．  C． D．【解析】由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.故选：B.2．（       ）A．1 B．-1 C． D．【解析】故选：C.3．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（       ）A． B．C． D．【解析】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A4．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】由题意，所以该复数在复平面内所对应的点为，因为，，所以该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.故选：C.5．（       ）A．3 B． C． D．【解析】.故选：B6．已知复数满足，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【解析】由可设：，，（其中），当时，.故选：.7．复数表示成三角形式正确的是（       ）A． B．C． D．【解析】∵，，，又，∴，∴，故选：C．8．________.A． B．C． D．【解析】原式=.故选：C9．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（       ）A．6 B．5 C．4 D．3【解析】由，得，即，故，0，1，2，4，5，因此集合.当时，同理得，此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；当时，得：，当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.故选B.10．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是A． B． C． D．【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是故选：A11．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝（       ）A．1 B．0 C．－1 D．1＋i【解析】由题意可知＝，故选C12．（       ）A． B． C． D．【解析】故选：D.13．已知复数满足且，则的值为（       ）A． B． C． D．【解析】设，，即，，解得： ， 当时，，则 ，当时，则 ，故选：D14．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（       ）A．辐角唯一 B．辐角主值唯一C．辐角主值为 D．辐角主值为【解析】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．故选：B．15．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】对于①，复数的虚部为，所以①错误；对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，故选：B16．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵，，，∴辐角主值为，∴，故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选：B．17．________.A． B．C． D．【解析】原式=.故选：C18．复数的三角形式为（       ）A． B．C． D．【解析】因为，辐角主值为，所以故选：C.19．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】对于①，复数的虚部为，所以①错误；对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，故选：B20．若复数（i为虚数单位），则为（       ）A． B．120° C．240° D．210°【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，且，所以.故选：C.二、多选题21．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（       ）A．B．若复数满足，则C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直【解析】∵，∴，故A正确；∵，∴．故B正确；∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，∴，即，又，，∴，或．故C不正确；∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，故选：ABD.22．棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（       ）A．B．C．D．存在8个不同的复数，使【解析】根据题意，在，令可得.对于A，设，则有，变形可得，则，A正确；对于B，设，则有，变形可得，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，设，若，即，则有，，则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；故选：AD.三、填空题23．复数的辐角主值为__________．【解析】因为，所以数的辐角主值为，故答案为：.24．复数，则_______ .【解析】 复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为：.25．欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为________．【解析】因为，所以.故答案为：26．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.【解析】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.点在第三象限，即表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为：三.27．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________.【解析】因为把化成指数式需满足，又,如当时，，故答案为：(答案不唯一)28．复数的三角形式为__________．【解析】=.故答案为：.29．复数的三角形式为__________．【解析】因为，所以z的三角形式可以写作.故答案为：.30．复数的代数形式是_____________.【解析】.故答案为：.31．复数的共轭复数的辐角可以表示为________.【解析】复数的共轭复数为，∴，，，∵辐角主值为，∴复数的辐角可以表示为：，，故答案为：，．32．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).【解析】由题意得.故答案为：33．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示).【解析】向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到，可得与对应的复数为，故答案为：．34．______________.【解析】.故答案为：.35．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.【解析】因为，设，，所以由题意可知或，当时，， ，当时，， ，综上所述：，故答案为：.36．计算：____________．【解析】故答案为：37．若复数，，则的辐角的主值为______．【解析】，所以的辐角的主值为.故答案为：.四、解答题38．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.39．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.【解析】向量对应的复数为.40．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）【解析】将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为： .将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为41．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.【解析】由复数乘法的几何意义得,又的辐角主值为42．如图，分别以的两边为边向外作正三角形及，设交于用复数证明：且.【解析】证明：设向量对应复数为，则向量对应的复数为；设向量对应复数为，则向量对应的复数为；向量对应复数为，同理，.由对应的复数为，对应的复数为，且两复数模相等，易知对应复数是由对应复数逆时针旋转得到的，又由图可知对应复数逆时针旋转可得对应复数，.