人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品练习题

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知识点2 平面向量共线的坐标表示
（1）向量a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
注：a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0．
（2）向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝λx2，,y1＝λy2))⇔x1y2－x2y1＝0.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
注：判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线.
考点一 平面向量的数乘运算的坐标运算
解题方略：
（1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组.
（2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.
【例1】已知向量，则___________
【解析】，，故答案为：
变式1：如果向量，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，，故选：B
变式2：已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)
【解析】b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A.
变式3：若向量，，，则___________.
【解析】由已知．故答案为：．
变式4：设，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，
所以，则.
故选：D.
变式5：已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知，
得，
所以，
故，
故选：D
变式6：若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＋2eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.
【解析】∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(－3,3)．∴eq \(AB,\s\up7(―→))＋2eq \(BC,\s\up7(―→))＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
变式7：在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______.
【解析】由题设，点是线段的中点，
∴.
故答案为：
变式8：已知平行四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】平行四边形ABCD中，，，
，为中点，
.
故选：C.
变式9：向量满足＋＝(－1，5)，－＝(5，－3)，则为（ ）
A．(－3,4)B．(3,4)C．(3，－4)D．(－3，－4)
【解析】由＋＝(－1，5)，－＝(5，－3)，相减得2＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，
∴＝(－6,8)＝(－3，4)．
故选：A
变式10：已知，，则等于（ ）
A．(－2，－2)B．(2，2)C．(－2，2)D．(2，－2)
【解析】因为，所以，而，
所以有，故选：D
变式11：若O(0,0)，A(1,2)，且eq \(OA′,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))，则A′点坐标为( )
A．(1,4) B．(2,2) C．(2,4) D．(4,2)
【解析】设A′(x，y)，eq \(OA′,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1,2)，∴(x，y)＝(2,4)．故选C.
【例2】已知向量则（ ）
A．B．C．D．5
【解析】∵向量
∴，
∴.
故选：B.
变式1：若，，则（ ）
A．2B．C．D．5
【解析】∵，∴.
故选：D
变式2：设，，，，则（ ）.
A．B．C．D．
【解析】设，则，
因为，
所以，
所以，解得，即，
所以，
所以，
故选：B
【例3】设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.
【解析】由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－eq \f(29,2).
答案：－eq \f(29,2)
变式1：若已知，，，则___________；若已知，则与的值分别为___________.
【解析】因为，，，所以，
，
所以，，所以，，
故答案为：；，.
变式2：设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2=(7，9)，且向量=_____.
【解析】设=(m，n)，则=(-n，m)，
所以2=(2m-n，2n+m)=(7，9)，
即，解得
因此.
故答案为：.
变式3：已知的三个顶点的坐标分别为，，，且在点、、处分别放置质量为1kg､2kg､1kg的物体，则此时重心的坐标为___________.
【解析】设重心的坐标为，的中点为，连接，
因为是的重心，所以，
因为，所以，
所以，
所以，可得，
所以重心的坐标为，
故答案为：.
考点二 向量共线的坐标运算及应用
解题方略：
（1）向量共线的判定方法
①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
②利用向量共线的坐标表达式直接求解．
若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0
（2）三点共线的实质与证明步骤
①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
两个向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.
【例4】下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)
①a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；
③a＝(2,3)，b＝(3,4)； ④a＝(2,3)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，2)).
【解析】①eq \f(1,2)(－3)－eq \f(3,4)(－2)＝－eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝0，∴a∥b.
②0.5×64－4(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．
③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．
④2×2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．
变式1：已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等 C．方向相同 D．方向相反
【解析】∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D.
变式2：若向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(eq \r(3)，－1) B．(－1，－eq \r(3)) C．(－eq \r(3)，－1) D．(－1，eq \r(3))
【解析】法一：∵a＋2b＝(eq \r(3)，－3)，
∴eq \r(3)×eq \r(3)－(－1)×(－3)＝0.∴(－1，eq \r(3))与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(eq \r(3)，－3)＝－eq \r(3)(－1，eq \r(3))，
∴向量a＋2b与(－1，eq \r(3))是共线向量．故选D.
【例5】已知向量，，若与共线，则（ ）
A．B．1C．D．2
【解析】由题意得，即.故选：C
变式1：已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
【解析】∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
变式2：设向量，，若，则___________.
【解析】因为，所以，所以.
故答案为：
变式3：已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
【解析】a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
变式4：已知向量.若，则实数的值为（ ）
A．6B．3C．D．
【解析】根据题意，向量，则，，
若，则有，解得：.故选：D.
变式5：已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
【解析】由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝eq \f(1,2).故选B.
变式6：已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．2D．-2
【解析】由已知得，，
又因为，
所以有，解得.
故选：B
变式7：若向量，，与共线，则实数k的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【解析】∵向量，，∴，，
又与共线，∴，解得.故选：B
变式8：已知向量，，且与平行，则（ ）
A．1B．0C．D．
【解析】因向量，，则，，
又与平行，于是得，解得，
所以.
故选：C
变式9：若向量，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，且，所以，解得.
故选：A.
变式10：已知向量，，设，，若∥，则实数k的值为（ ）
A．－1B．－C．D．1
【解析】∵＝(1，2)，＝(0，1)，
∴，，
∴即.
故选：B
变式11：已知向量，若，则λ=（ ）
A．-2或 B．-2或 C．-2D．
【解析】因为向量，且，
所以，即，消去可得，
解得或，
故选：B.
变式12：已知向量，，若与方向相反，则等于（ ）
A．1B．C．D．
【解析】因为向量，，
若与共线，则，解得；
当时，，，，两向量同向，不合题意；
当时，，，，两向量反向，满足题意.
故选：C.
变式13：已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若eq \(AB,\s\up7(―→))和eq \(CD,\s\up7(―→))是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】∵eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))是相反向量，∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \(CD,\s\up7(―→)). 又eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,1)，∴eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1，－1)．设D(x，y)，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.
变式14：已知向量，，向量，，若，则实数的值为___________.
【解析】因为，，所以.
，.又因为，
所以，即，解得.
故答案为：1．
变式15：若向量，，且∥，则___________.
【解析】因为向量，，且∥，
所以，即，
所以.
故答案为：
变式16：已知向量，若，则______.
【解析】因为，，
所以，解得，
所以.
故答案为：
变式17：已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标．
【解析】设a的坐标为(x，y)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,\r(x2＋y2)＝10，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2\r(5)，,y＝4\r(5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2\r(5)，,y＝－4\r(5).))
所以a＝(2eq \r(5)，4eq \r(5))或a＝(－2eq \r(5)，－4eq \r(5))．
变式18：已知，．①若，则_______；②若存在实数x，使得，则实数m的取值范围是______．
【解析】因为，所以，即；
因为，所以存在实数，使得成立，
则有，因此该方程有实数解，
，于是有：
，或，
故答案为：3； .
三点共线问题
一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))；二是利用坐标运算.
【例6】已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(3,4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(7,12)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
【解析】证明：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,8)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(6,12)．∴4×12－8×6＝0，即eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线．
又∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线．
【例7】若点，，三点共线，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】因为点，，，
所以，
因为点，，三点共线，
所以共线，
则，
解得，
故选：B
变式1：设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【解析】由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故选：A
变式2：已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))共线；
(2)当向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
【解析】 (1)eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x,1)，eq \(CD,\s\up7(―→))＝(4，x)．
∵eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))，∴x2＝4，x＝±2.
(2)由已知得eq \(BC,\s\up7(―→))＝(2－2x，x－1)，
当x＝2时，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(－2,1)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,1)，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))和eq \(BC,\s\up7(―→))不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；
当x＝－2时，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－2,1)，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(BC,\s\up7(―→))，此时A，B，C三点共线．
又eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))，∴A，B，C，D四点在一条直线上．
综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．
变式3：已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；
(2)若eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(BC,\s\up7(―→))，求x，y的值．
【解析】(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，
eq \(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)得eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)由eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)，得
eq \(BC,\s\up7(―→))＝(－x－1，－y)，
由eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(BC,\s\up7(―→))得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x＝－2x－2，,1－y＝－2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－1.))
待定系数法求向量
待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．
【例8】已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
【解析】设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＝－2x＋3y，,－4＝3x＋y，))
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
变式1：已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a.
【解析】设a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＝3λ－2μ，,－5＝2λ＋2μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,μ＝－\f(7,2)，))∴a＝b－eq \f(7,2)c.
（四）利用向量共线解决几何问题
（1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行.
（2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
【例9】如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.
【解析】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)，
且共线，所以，即x=y.
又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线，
则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，
所以点P的坐标为(3，3).
变式1;如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
【解析】证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(DC,\s\up6(→))|＝1，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.
∵CE⊥AB，且AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1，0)．
(1)∵eq \(ED,\s\up6(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
∴eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(ED,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，即DE∥BC.
(2)如图，连接MB，MD，
∵M为EC的中点，∴M(0，eq \f(1,2))，
∴eq \(MD,\s\up6(→))＝(－1,1)－(0，eq \f(1,2))＝(－1，eq \f(1,2))，
eq \(MB,\s\up6(→))＝(1,0)－(0，eq \f(1,2))＝(1，－eq \f(1,2))．
∴eq \(MD,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))，∴eq \(MD,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→)).
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.
练习一 平面向量的数乘运算的坐标运算
1、若，，则
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，，所以；
（4）因为，，所以；
（5）因为，，所以；
（6）因为，，所以.
故答案为：；；；；；.
2、已知向量，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因向量，则有，
所以.
故选：A
3、已知向量，，求，，．
【解析】，，；
；.
4、已知a＝eq \(AB,\s\up7(―→))，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
【解析】∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝eq \(AB,\s\up7(―→)).
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＝－7，,0－y＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝－10.))
∴A点坐标为(8，－10)．
5、已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．
【解析】a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，
a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，
3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).
6、已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b.
【解析】(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b＝eq \f(1,2)(－1,2)－eq \f(1,3)(2,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)，\f(2,3))).
7、已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3)的单位向量．
【解析】(1)
(2)因为，所以
(3)因为，所以的单位向量为．
练习二 向量共线的坐标运算及应用
1、已知与共线，则（ ）
A．2B．1C．D．
【解析】由与共线，则，解得，
故选：D.
2、已知向量，，若∥，则实数（ ）
A．1B．C．或D．0
【解析】因为 ，所以，即：
故选：C
3、已知向量，，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，共线，，.故选：B
4、已知，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，得：，
，，解得：.
故选：C.
5、已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，，因为，所以.
故选：A.
6、已知向量，若，则（ ）
A．3B．C．D．
【解析】，故由，得.
故选：C
7、已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
【解析】因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，
所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝eq \f(1,2).
8、已知向量，，，则________．
【解析】因为，，，
所以，所以，解得，
故答案为：
9、已知a=（1，1），b=（x，1），n=a+2b，v=2a–b．
（1）若n=3v，求x；
（2）若n∥v，并说明此时两向量方向相同还是相反．
【解析】∵a=（1，1），b=（x，1），∴n=a+2b=（1，1）+（2x，2）=（2x+1，3），
v=2a–b=（2，2）–（x，1）=（2–x，1）．
（1）∵n=3v，∴（2x+1，3）=3（2–x，1），解得x=1．
（2）∵n∥v，∴2x+1=3（2–x），∴x=1．此时，n=（3，3），v=（1，1），
∵n=3v，∴n与v方向相同．
10、已知，，点C在x轴上，且A、B、C三点共线，则点C的坐标为______．
【解析】设，则，．
由，得，解得，即．
故答案为：．
11、A（1，3），B（2，2），是平面直角坐标系中的三个点，若，则________．
【解析】，，.
故答案为：
12、已知，，且，，三点共线，则的值是_______.
【解析】因为，，三点共线，所以，
因为，，，
所以，，
所以，解得：，
故答案为：.
13、设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是________.
【解析】∵2＝，，
∴，且，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，
∴，又∵λ＝2m－2，
∴，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
14、设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？
【解析】由题设，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，
令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0， k＝11或－2.
故当k＝11或－2时，A， B， C三点共线.
15、已知向量，，当实数k为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向的还是反向的．
【解析】由已知，
，
因为向量与平行，
，解得，
此时，
，则向量与同向.运算
坐标表示
任一向量的坐标
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．
向量的加法、减法运算的坐标表示
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．
向量的数乘运算的坐标表示
已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))