高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算优秀测试题

这是一份高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算优秀测试题，文件包含人教A版高中数学必修第二册同步培优讲义专题73复数的四则运算重难点题型精讲教师版doc、人教A版高中数学必修第二册同步培优讲义专题73复数的四则运算重难点题型精讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。


1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∈C，有
①交换律： SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ；
②结合律：( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )+ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =(a,b)， SKIPIF 1 < 0 =(c,d).以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的线段为邻边作平行四边形 SKIPIF 1 < 0 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么这两个复数的差
SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 对应的向量是 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ，即向量 SKIPIF 1 < 0 .
如果作 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，那么点Z对应的复数就是 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 (如图所示).
这说明两个向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的差 SKIPIF 1 < 0 就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ SKIPIF 1 < 0
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 SKIPIF 1 < 0 换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∈C，有
①交换律： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②结合律：( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )；
③分配律： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 和正整数m,n，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 SKIPIF 1 < 0 (a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是 SKIPIF 1 < 0 (a,b)， SKIPIF 1 < 0 (c,d)，则|​​​​​​​ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 |=
SKIPIF 1 < 0 ，又复数 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =(a-c)+(b-d)i，则| SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 |= SKIPIF 1 < 0 .
故|​​​​​​​ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 |=| SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 |，即| SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 |表示复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 +bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 SKIPIF 1 < 0 >0时，方程有两个不相等的实根 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 =0时，方程有两个相等的实根 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 <0时，方程有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，且两个虚数根互为共轭复
数.
7．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 ；
⑤ SKIPIF 1 < 0 .
(2)常用公式
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 复数的加、减运算】
【方法点拨】
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数
相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所
有虚部相加(减).
【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．4B．C．D．
【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数满足，则=（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】
【方法点拨】
(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复
数.
【例2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）
A．B．5C．2D．10
【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【题型3 复数的乘除运算】
【方法点拨】
(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将 SKIPIF 1 < 0 换成-1，并将实部、虚部分别合并.
(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即
将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【题型4 虚数单位i的幂运算的周期性】
【方法点拨】
根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.
【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）（ ）
A．B．1C．D．
【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设是虚数单位，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
【变式4-3】（ ）
A．B．C．D．
【题型5 解复数方程】
【方法点拨】
实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则
其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.
【例5】（2022·重庆江北·校考一模）已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【变式5-1】（2022秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（ ）
A．4B．2C．0D．
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的虚数根，则（ ）
A．0B．C．D．
【变式5-3】（2022秋·上海宝山·高二阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【题型6 四则运算下的复数概念】
【方法点拨】
先根据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.
【例6】（2022·江苏常州·校考模拟预测）已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－B．C．－2D．2
【变式6-1】（2023秋·江西抚州·高三期末）已知复数满足，则复数（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2023秋·江苏扬州·高三期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）．
A．B．3C．D．2
【变式6-3】在复平面内，复数（ ）
A．位于第一象限
B．对应的点为
C．
D．是纯虚数