高中数学5.2 三角函数的概念精品精练

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5．2．1 三角函数的概念
【知识点梳理】
知识点一：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点诠释：
（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．
（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．
知识点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：

在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．
知识点三：诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：


，其中
注意：
利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值．
知识点四、特殊角的三角函数值

0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°

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【题型归纳目录】
题型一：三角函数的定义
题型二：判断三角函数值的符号
题型三：确定角所在象限
题型四：诱导公式（一）的应用
题型五：圆上的动点与旋转点
【典型例题】
题型一：三角函数的定义
例1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为其终边上的一点，且，
所以，解得，
因为是第二象限角，所以，
故选：C
例2．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角的终边上有一点，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】角的终边上点，则，所以.
故选：A
例3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角的终边经过点，则的值为（    ）
A． B． C．1或 D．或
【答案】D
【解析】由题意可得：点P与原点间的距离，
∴.
当时，则，故；
当时，则，故.
故选：D.
变式1．（2022·山西大附中高三阶段练习（文））已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
角的终边上点的坐标为，
可得角为第四象限角，且，
所以.
故选：B
变式2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））已知点是角终边上一点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意点的坐标为，
故选：
变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，则的值为（    ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由，得，，，代入原式得．
故选：A
变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，且，则（    ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意，解得．
故选：C．
变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
【解析】，；
当时，，；
当时，，.
变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在函数的图像上，求，的值．
【解析】在函数的图像上取一点，则，，即，．
【方法技巧与总结】
利用三角函数的定义求值的策略
（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便．
（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
题型二：判断三角函数值的符号
例4．（2022·全国·高一课时练习）已知为第二象限角，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为第二象限角，
所以，故ABD错误，C正确.
故选：C
例5．（2022·湖北·高一阶段练习）下列各式的符号为正的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故A错误；
因为，，所以，，
所以，故B错误；
因为，所以，所以，故C正确；
因为 ，所以，故D错误.
故选：C.
例6．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））的值（    ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不大于0
【答案】B
【解析】∵4在第三象限，∴，
∵7在第一象限，∴，∴，
故选：B.
变式7．（2022·江西省万载中学高一期中）设，如果且，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
，则，所以，
，则，所以．
故选：D．
【方法技巧与总结】
三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：
“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．
题型三：确定角所在象限
例7．（2022·全国·高一课时练习）点所在的象限是（    ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【解析】在第三象限，
，点在第三象限.
故选：C.
例8．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设角属于第二象限，且，则角属于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.
故选：C.
例9．（2022·陕西汉中·高一期中）若，且，则是（    ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】因为，，所以，且，
故a是第四象限角．
故选：D
变式8．（2022·全国·高三专题练习）若且，则角所在的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，
所以满足且，角在第四象限.
故选：D
变式9．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由点在第四象限，可知，
则角的终边在第二象限.
故选：B
变式10．（2022·辽宁·高一期末）坐标平面内点的坐标为，则点位于第（    ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】，，
则点位于第二象限，
故选：B
【方法技巧与总结】
确定角所在象限的步骤
（1）判断该角的某些三角函数值的符号；
（2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限．
题型四：诱导公式（一）的应用
例10．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）____________．
【答案】
【解析】
故答案为：
例11．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）_________.
【答案】
【解析】因为.
故答案为：.
例12．（2022·湖南·高一课时练习） ＝______.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
变式11．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））______．
【答案】
【解析】
故答案为：
变式12．（2022·湖南·高一课时练习）求值：．
【解析】




【方法技巧与总结】
利用诱导公式一化简或求值的步骤
（1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式．
（2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值．
（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．
题型五：圆上的动点与旋转点
例13．（2022·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】

由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以
故选：C
例14．（2022·全国·高一专题练习）点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以点Q是角的终边与单位圆的交点，所以Q，又角的终边与的终边是相同的，所以，，所以.
故答案为：A
例15．（2022·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作出半径为的圆，

由题意，，
过作轴于点，
则

故选：B
变式13．（2022·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，
点的横坐标为，所以，
即，
所以，
设点的横坐标为，
则.
故选：B
变式14．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．

(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．
【解析】（1）设、第一次相遇时所用的时间是，
则，
（秒，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为，则，，
点的坐标为，
（2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．

【方法技巧与总结】
利用三角函数的定义求解
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角的终边与单位圆交于点，
所以根据三角函数的定义可知，．
故选：C．
2．（2022·江西赣州·高一期末）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值3.14）（    ）

A．0.039 B．0.157 C．0.314 D．0.079
【答案】B
【解析】假设圆的半径为，此圆内接正二十边形等分成20个等腰三角形，
则每个等腰三角形的顶角为18°，选取其中一个小等腰三角形，
过等腰三角形顶点O向底边AB作垂线OC，垂足为C，延长OC交圆O于点D，
则由三线合一可知：，
则，其中，，

所以
故选：B
3．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角的终边与单位圆O的交点，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为角的终边与单位圆O的交点， ,
故 ，
所以，
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在单位圆中，，解得，故.
故选：C.
5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则sincos的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直角三角形的短边为，一个直角三角形的面积为，
小正方形的面积为20，则边长为.大正方形的面积为100，则边长为10.
直角三角形的面积为.
则直角三角形的长边为.  
故.
即.
故选：B.
6．（2022·北京市第五中学高一期末）在直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆坐标为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以角的终边与单位圆坐标为，
故选：A
7．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知是第二象限角，则（    ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵是第二象限角，
∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.
故选：C．
8．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】当甲：错误时，乙：正确，
此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），
或，
∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；
甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），
此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，
∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，
∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，
故丙正确，丁错误，
综上错误的同学是丁．
故选：D．
二、多选题
9．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知是第一象限角，则下列结论中正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】已知是第一象限角，∴
由，角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，成立，A正确；不一定成立，B错误；
由，角的终边在第一象限或第三象限，不一定成立，C错误；成立， D正确.
故选：AD．
10．（2022·全国·高一单元测试）下列结论正确的是（    ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．若角的终边上有一点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【解析】选项A中，，是第二象限角，故A错误；
选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；
选项C中，，，故C正确；
选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．
故选：BC．
11．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（    ）
A． B．α为钝角
C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限
【答案】ACD
【解析】角θ的终边经过点，，A正确．
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确．
因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确．
故选：ACD
12．（2022·全国·高一）以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标不可能的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，
则设运动过程中弧长对应的角为，则，
根据三角函数的定义可得，
即.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）角的终边上有一点，则的值为______；
【答案】【解析】由题意，
所以．
故答案为：．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在射线上，则角的正弦值为______，余弦值为______．
【答案】          【解析】设角的终边与单位圆的交点为，则，
又，∴,
于是，,
故答案为：；
15．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边上有一点，且，则m的值为______．
【答案】或0
【解析】由题意可知，解得或0．
故答案为：或0
16．（2022·全国·高一课时练习）若角是第四象限角，则______．
【答案】－1
【解析】因为角是第四象限角，所以，，，
所以．
故答案为：-1.
17．（2022·江苏盐城·高一期末）已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．
【答案】1
【解析】由题意知，，
即，
化简得，
则
故答案为：1
四、解答题
18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，求的值.
【解析】，
当时，，，，；
当时，，，，．
综上可知，的值为或.
19．（2022·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求值；
(2)求的值．
【解析】(1)由三角函数的定义，可知，解得或，
∵α为第二象限角，∴m＞0，所以m＝，
∴；
(2)由（1）知或，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以.
综上所述，的取值为或或．
20．（2022·全国·高一课时练习）已知，且有意义．
(1)试判断角是第几象限角；
(2)若角的终边上有一点，且（O为坐标原点），求实数m的值及的值．
【解析】（1）∵，∴，
∴角是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由有意义，可知，
∴角是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上，角是第四象限角
（2）∵，∴，解得．
又角是第四象限角，故，∴．
∴．
21．（2022·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】
利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算可得；
(1)

；
(2)