高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优秀课后作业题

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3.2.2 奇偶性
【知识点梳理】
知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
知识点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，
的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．
2．奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
3．用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．
若，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
知识点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．

（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
知识点三、关于函数奇偶性的常见结论
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
【题型归纳目录】
题型一：函数的奇偶性的判断与证明
题型二：已知函数的奇偶性求表达式
题型三：已知函数的奇偶性求值
题型四：已知函数的奇偶性求参数
题型五：已知奇函数+M
题型六：抽象函数的奇偶性问题
题型七：奇偶性与单调性的综合运用
题型八：利用函数奇偶性识别图像
【典型例题】
题型一：函数的奇偶性的判断与证明
例1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；
对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；
对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误；
故选：C
【方法技巧与总结】
判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功．
例2．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
当时，，定义域为R，此时，
所以为奇函数，
当时，定义域为，且，
所以为奇函数，
综上：为奇函数.
（2）,
即，在上恒成立，
整理为在上恒成立，
令，
当时，，
所以，
故实数的取值范围为.
例3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，则（    ）
A．为奇函数，为偶函数
B．为奇函数，为偶函数
C．为奇函数，为偶函数
D．为奇函数，为偶函数
【答案】D
【解析】，，定义域为，定义域不关于原点对称，故既不是奇函数又不是偶函数；
，定义域为，定义域关于原点对称，令，且，所以为奇函数；
，既不是奇函数又不是偶函数；为偶函数.
故选：D.
例4．（2022·全国·高一课时练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．
故选：C.
例5．（2022·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（    ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【解析】由已知的定义域为R，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，
所以为偶函数，
又，，又，
所以，所以不为奇函数，
故选：B．
例6．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（    ）
A．奇函数的图像关于坐标原点对称 B．图像关于轴对称的函数是偶函数
C．奇函数一定满足 D．偶函数的图像不一定与轴相交
【答案】C
【解析】根据奇偶函数的性质知A，B正确；
对于C，如，，易得函数是奇函数，但它的图像不过原点，故C错误；
对于D，如，，易得函数是偶函数，但它的图像不与y轴相交，故D正确．
故选：C．
例7．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知为上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数为偶函数
D．函数为奇函数
【答案】A
【解析】设，因为为偶函数，所以，则＝，所以函数是偶函数，故选A．
考点：函数的奇偶性．
例8．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（    ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】ABC
【解析】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，
对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；
对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C选项，设，则，
所以为偶函数，故C正确；
对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
例9．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（    ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
【答案】BC
【解析】对于A，由且，得，
则的定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故A错误;
对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，
，
当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;
对于C，由且，得，即，
的定义域关于原点对称，此时，
所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;
对于D，由且，得且x≠0，
的定义域关于原点对称，因为，
，所以函数为奇函数，故D错误.
故选:BC.
例10．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】关于A选项，函数为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；
关于B选项，函数为偶函数，其图像图像关于轴对称，且函数在上单调递增，故B正确；
关于C选项，函数的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
关于D选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故D正确．
故选：BD.
例11．（2022·全国·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）的定义域是，关于原点对称，
又，所以是奇函数．
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（3）因为的定义域为，所以，
则既是奇函数又是偶函数．
（4）方法一（定义法）  因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．
①当x＞1时，，所以；
②当时，；
③当时，，所以．
综上，可知函数为偶函数．
方法二（图象法）  作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．

例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知函数．
(1)当时，判断函数的奇偶性；
(2)当时，判断函数在上的单调性，并证明．
【解析】（1）当时，，定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数．
（2）当时，，证明：取，，
所以，，则，即，
所以在上是单调递减函数．
例13．（2022·全国·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
题型二：已知函数的奇偶性求表达式
例14．（2022·全国·高三竞赛）已知是R上的奇函数，是上的偶函数.若,则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由是奇函数，有.又是偶函数，有.
在中，以代，
得,
即.
故. 选A.
【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
例15．（2022·福建·泉州鲤城北大培文学校高一期中）函数f（x）是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为
(1)求f（-1）的值∶
(2)用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
(3)求当x<0时，函数的解析式.
【解析】(1)；
(2)证明：任取，则 ，所以 ，即，所以在上是减函数；
(3)任取，则，故，即时，函数的解析式为.
例16．（2022·全国·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数
所以，解得．
经检验，当时，是上的奇函数，满足题意．
又，解得，
所以．
（2）在上为增函数．证明如下：
在内任取且，
则，
因为，，，，
所以，即，
所以在上为增函数．
例17．（2022·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【解析】解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
【解析】（1）的图象关于原点对称，
是奇函数，．
又的定义域为，，解得．
设，则，
当时，，

，
所以；
（2）由（1）可得的图象如下所示：

由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
例19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．

  由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
例20．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．
【答案】
【解析】当时，则，
因为当时，，且是定义在上的奇函数，
所以，即，
故时，的解析式为.
故答案为：.
例21．（2022·全国·高一课时练习）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【答案】
【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
题型三：已知函数的奇偶性求值
例22．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数，当时，（为常数），则（    ）
A．1 B．2 C．－3 D．3
【答案】C
【解析】由于是奇函数，所以，
所以，
所以时，，
所以.
故选：C
【方法技巧与总结】
充分利用奇偶性进行求解．
例23．（2022·上海市建平中学高一期中）定义在R上的奇函数满足，则___________．
【答案】
【解析】由题意且，
则，则.
故答案为：.
例24．（2022·安徽·安庆市第七中学模拟预测（文））已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．
【答案】
【解析】关于对称，关于直线对称，
所以.
故答案为：.
例25．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，的定义域为，且为偶函数，为奇函数，若，则__．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，为奇函数，
所以，，
两式相减可得，，
若，则．
故答案为：2．
例26．（多选题）（2022·广东·揭阳华侨高中高一期中）是奇函数，是偶函数，且，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因是奇函数，是偶函数，则，，
解得，即A，C都正确；而，即B，D都不正确.
故选：AC
例27．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一阶段练习）已知是偶函数，是奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令x＝1，得f（1）+g（1）＝1，
令x＝﹣1，得f（﹣1）+g（﹣1）＝5，
又f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（﹣1）＝f（1），g（﹣1）＝﹣g（1），
两式相加得：f（1）+f（﹣1）+g（1）+g（﹣1）＝6，
f（1）+f（1）+g（1）﹣g（1）＝6，即2f（1）＝6，
所以f（﹣1）＝3；
故选A．
考点：函数奇偶性的应用．
题型四：已知函数的奇偶性求参数
例28．（2022·全国·高一课时练习）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
【答案】1
【解析】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．
例29．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数为偶函数，则________
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，
所以，即，
整理得，
因为
所以当时上式恒成立，
故答案为：0
例30．（2022·全国·高一专题练习）若函数的图象关于轴对称，则常数 _______.
【答案】
【解析】可知函数为偶函数，定义域为R，则，即，解得，
则，显然满足题意，则．
故答案为：.
例31．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为__．
【答案】【解析】函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 .
例32．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，则_____．
【答案】2
【解析】当时，，，
又为奇函数，，而当时，，
所以．
故答案为：2
例33．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
【答案】－6
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
故，即，则解得，
所以，，
所以，，
则，
故答案为：-6
题型五：已知奇函数+M
例34．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（    ）
A．－506 B．506 C．2022 D．2024
【答案】B
【解析】函数，
令，
因为，
所以为奇函数，
又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，
所以的最大值为，最小值为，
所以，则t＝506．
故选：B
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
例35．（2022·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
【答案】1
【解析】由题意知，（），
设，则，
因为，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以.
故答案为：1
例36．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则的值是_______.
【答案】
【解析】是奇函数  

    
.
故答案为: .
题型六：抽象函数的奇偶性问题
例37．（多选题）（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，
所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；
对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.
故选：ABD．
【方法技巧与总结】
判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行．
例38．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（    ）
A．为偶函数 B．若，则
C． D．若，则
【答案】ACD
【解析】选项A：因为，令可得，解得．令可得，所以，故为偶函数，A正确；
选项B：令可得，所以， B错误；选项C:令可得，C正确；
选项D：令可得，所以，所以，D正确．
故选：ACD．
例39．（2022·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．
【解析】证明：函数的定义域为，关于原点对称，
因为函数对任意，都有，
令，则，得，
令，则，
所以，
即，所以为奇函数．
例40．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有
f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
(1)求f（0）；
(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；
(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.
【解析】（1）因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），
所以令a=b=0，得f（0）=0.
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x）.
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数.
（3）设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2） ∴函数y=f（x）是R上的减函数.
例41．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
【解析】证明：(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0
  ∴f(x)=－f(－x)
  ∴f(x)为奇函数
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减
令0 ∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0， 即　f(x2) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0
∴f(x)在(－1，1)上为减函数
例42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
（2），即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
例43．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，且满足：
①当时，；
②，．
则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．
【答案】     奇     减
【解析】，
令，则，所以，
令，则，
又因为的定义域关于原点对称，所以为奇函数；
任取，且，则
因为，所以，，所以，
所以，，
所以，所以，
由条件①得，所以，所以在上是减函数，
又为奇函数，所以在上是减函数．
题型七：奇偶性与单调性的综合运用
例44．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为满足，对任意的有，
所以在上单调递减
且为偶函数，则
由可得，即
故选:A
【方法技巧与总结】
函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
例45．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为.
故答案为：
例46．（2022·全国·高一单元测试）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.
【答案】
【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又，所以，所以当时，
则不等式等价于，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
例47．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【解析】因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
例48．（2022·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.
【答案】或
【解析】因为为奇函数，且在上是增函数，，
所以，且在上也是增函数，
因为，
即或，∴或，即或，所所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
例49．（2022·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．
【答案】
【解析】∵是定义在上的奇函数，
∴对任意，，，且，等价于，
∴在上单调递增．
∵，∴．
故答案为：
例50．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等的解集是______．

【答案】
【解析】如图所示，作出函数与在上的图像，
由图像，当时，函数的值异号，
所以不等式的解集为．

故答案为：.
例51．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
【答案】BCD
【解析】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；
结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；
代入1得，且所以，故B正确
故选：BCD
例52．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，即是定义在R上奇函数．
又，，且，都有成立，
所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，
所以，即，
所以，解得．故A，B，D错误.
故选：C．
例53．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
例54．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
例55．（2022·全国·高一单元测试）设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
由函数为偶函数，得，
故不等式可化为.
又函数在上单调递增，，，所以，即,
故A错误，B正确；
由于，函数为偶函数，且在上单调递增，
故，故C错误；
由题意无法确定的正负，即的正负情况不定，故D错误，
故选：B.
另由题意，设，，，且，
此时，故排除A；
，，此时，，故排除C，D，
故选：B.
例56．（2022·全国·高一单元测试）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，
由可得，
∴，
解得.
故选：B.
题型八：利用函数奇偶性识别图像
例57．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的图像大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，为奇函数，所以C错误；
当时，，所以A，D错误，B正确.
故选：B.
【方法技巧与总结】
利用奇偶性进行排除.
例58．（2022·全国·高一课时练习）已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图知，的定义域为，
令时，或，
由为奇函数，为偶函数，
所以为奇函数，关于原点对称，
对A，B：当时，，，所以，故A，B错误；
对C：由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；
对D：由图知，当时，，，，
当时，，，，
结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确；
故选：D.
例59．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象不可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若的图象经过原点，可得，即，
，
若的图象关于轴对称，可得为偶函数，即，可得，即，故C不可能成立；
当，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为连续函数，故A可能成立；
当，，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故B可能成立；
若，则，
当，，即有，，可得为偶函数，其图象关于轴对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故D可能成立．
故选：C．
例60．（2022·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；
当时，，当时，，排除C．
故选：D．
例61．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；当时，，易知在上是增函数，排除A．
故选：D．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，在上单调递增；
又是定义在上的偶函数，在上单调递减；
，由得：，则，解得：，
的解集为.
故选：A.
2．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【解析】对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，
且函数、均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，为偶函数，故错误；
对于D选项，且为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
3．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[-1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（　　）
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
【答案】A
【解析】因为函数f（x）满足f（x+1）=，
所以，
所以是以2为周期的周期函数，
又因为是定义域为R的偶函数，且在[-1，0]上是减函数，
所以在[0，1]上是增函数，
那么f（x）在[2，3]上是增函数，
故选：A
4．（2022·全国·高一课时练习）函数是奇函数，其图象上有一点，则函数的图象必过点（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为D，因为函数是奇函数，，所以，
且，所以函数的图象必过点.
故选：C.
5．（2022·全国·高一课时练习）偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数a的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，化简得，又因为a为正实数，所以.
故选：B.
6．（2022·河南安阳·高一期末）对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若函数的定义域为，的图象既关于原点对称又关于轴对称，
则，可得，
因此，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的充要条件．
故选：C.
7．（2022·浙江·玉环中学高一阶段练习）定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在R上的奇函数，故，又当时，，故，故
故选：C
8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调增函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图象关于直线对称，∴，
又函数在上为单调增函数，∴，
即，∴，
故选：B．
二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为是定义在R上的偶函数，所以，
对于A，因为，所以为偶函数，故满足题意；
对于B，因为，所以为奇函数，故不满足题意；
对于C，易得为偶函数，故满足题意；
对于D，因为，所以不为偶函数，故不满足题意；
故选：AC
10．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，，使得
【答案】BCD
【解析】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，
所以，故A错误；
对选项B，若，则，得，故B正确；
对选项C，若，则或，
因为，所以或，故C正确；
对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，
且在上单调递增，
所以，所以只需即可，故D正确．
故选：BCD．
11．（2022·全国·高一课时练习）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（    ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为且
，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误
对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误
对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确
故选：BD
12．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，下列判断正确的是（    ）
A．是偶函数
B．若，则当时，取得最小值
C．当时，的值域是
D．当时，在上单调递增
【答案】ACD
【解析】，则定义域为，且，即，故函数为偶函数，故A正确；
当时，，当且仅当时取到等号，故的值域是，故B不正确，C正确．
当时，，当时，，在上单调递增；当时，时，，设，则，，
，，单调递增；当，时，，
首先在上单调递增，又由得（负值舍去），因此时，，
所以 是增函数，综上所述，当时，在上单调递增，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．

【答案】
【解析】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．

故答案为：.
14．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）
【答案】＞
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，．
又，所以，即．
故答案为：＞.
15．（2022·全国·高一课时练习）奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意知，函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以，解得．又奇函数是上的减函数，所以是上的奇函数，且在上单调递减．由，
得，所以，解得．综上，．
故答案为：．
16．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）关于函数的性质，有如下说法：
①若函数的定义域为，则一定是偶函数；
②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；
③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；
④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.
其中正确说法的序号有___________.
【答案】①③④
【解析】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；
对于②，由题意，，，则，
即，由于与零的大小无法确定，故错误；
对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；
对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，
，解得，故正确；
故答案为：①③④.
四、解答题
17．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
【解析】（1）证明：设对任意的，则

由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
18．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）已知函数 ，且.
(1)求m；
(2)判断的奇偶性；
(3)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(4)并求函数在上的值域.
【解析】（1）∵，且
∴，解得.
（2）函数为奇函数，
证明：由（1）得，定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数.
（3）函数在上单调递增，
证明：设，
则，
∵ ，
∴，，
故，即，
所以函数在上单调递增.
（4）由（3）得函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，
又，
所以函数在上的值域为.
19．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）二次函数满足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函数为偶函数，求的值;
(4)求在上的最小值.
【解析】（1）设，
则，

又因为，
所以，
解得：，
又
所以的解析式为.
（2），
所以当时，单调递减，在上单调递增，
又，，，
因为
故在上的最小值为，最大值为.
（3）因为，
所以，
因为为偶函数，
所以，
即，解得：，
.
（4），
当，即时，在上单调递减，
所以；
当且,即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递增，
所以；
综上：时，；
时，；
时，.
20．（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）作函数的图像如图所示，

要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
21．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）已知函数．
(1)在下列网格纸中作出函数在上的大致图象；

(2)判断函数的奇偶性，并写出函数的单调递增区间，不必说明理由．
【解析】(1)当时，，
其大致图象如下所示：

(2)函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
由（1）中的图象结合偶函数的性质可知，函数的单调递增区间为、.
22．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【解析】（1）因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，

当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.