人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）精品课时训练

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4．4 对数函数
【题型归纳目录】
题型一：对数函数定义的判断
题型二：利用对数函数的定义求参数
题型三：求对数函数的表达式
题型四：对数型函数过定点问题
题型五：对数函数的图象问题
题型六：对数函数的定义域
题型七：对数函数的值域与最值
题型八：对数函数的单调性及其应用
题型九：比较指数幂的大小
题型十：解对数型不等式
题型十一：判断对数函数的奇偶性
题型十二：反函数
题型十三：对数函数性质的综合应用
【知识点梳理】
知识点一、对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
知识点诠释：
（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．
知识点二、对数函数的图象与性质





图象






性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，

知识点诠释：
关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．
以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．
知识点三、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图

知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）

知识点四、反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
知识点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
题型一：对数函数定义的判断
例1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
例2．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，是对数函数的是（    ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．
D．y＝log5x
【答案】D
【解析】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．
故选：D.
例3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
变式1．（2022·上海·高一单元测试）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
【方法技巧与总结】
判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
题型二：利用对数函数的定义求参数
例4．（2022·全国·高一课时练习）已知对数函数，则______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，
可得，
解得．
故答案为．
例5．（2022·全国·高一专题练习）在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为
A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞）
C．（4，+∞） D．（3，4）
【答案】B
【解析】由函数的解析式可得，解得34．故选B．
例6．（2022·全国·高一专题练习）若函数的图像过点，则的值为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题, .
故选：B
变式2．（2022·全国·高一专题练习）若函数为对数函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以
故选：B
【方法技巧与总结】
的系数为1
题型三：求对数函数的表达式
例7．（2022·全国·高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ）
A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x
【答案】A
【解析】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．
由于对数函数的图像过点M(125，3)，
所以3＝loga125，得a＝5.
所以对数函数的解析式为y＝log5x.
故选：A.
例8．（2022·全国·高一专题练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ）
A． B．
C．或 D．不确定
【答案】A
【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．
故选：A．
例9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的 图象过点，
所以，
则，
所以，，
故选：B.
变式3．（2022·全国·高一课时练习）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x B．y＝ x
C．y＝ x D．y＝log2x
【答案】D
【解析】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，
得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
变式4．（2022·上海·高一专题练习）函数y=f(x)满足；函数g(x)满足，且，，则函数F(x)的表达式可以是_____
【答案】
【解析】因为不妨取（且）又，所以，所以，所以；
又，不妨取（且），又，所以，所以，所以，
又因为
所以
故答案为：
变式5．（2022·全国·高一课前预习）如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可）
【答案】
【解析】由题意，函数对任意的正实数a，b，都有，
可考虑对数函数，满足，
故答案为：.
【方法技巧与总结】
待定系数法
题型四：对数型函数过定点问题
例10．（2022·全国·高一单元测试）若且，则函数的图像恒过定点（    ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点.
故选：D.
例11．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象恒过定点，则M为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数，令，解得，此时，所以函数恒过定点；
故选：A
例12．（2022·浙江丽水·高一开学考试）已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为（且），令，解得，所以，即函数过定点，所以，故A错误；
因为、，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号.
故选：D
变式6．（2022·四川成都·高一开学考试）函数（，且）恒过定点（3，2），则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意，函数，
当时，即时，可得，即函数恒经过点，
又因为恒经过点，可得，解得，
所以.
故选：C.
变式7．（2022·天津·高一期末）函数的图象恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，即
因为在直线上，所以

当且仅当时，取等号，即的最小值为
故选：A
【方法技巧与总结】
令真数为1求解.
题型五：对数函数的图象问题
例13．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的图像大致为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，在处取得最小值，排除C、D，
当时，为减函数，
故选:A．
例14．（2022·全国·高一专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，即为，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
故选：B．
例15．（2022·全国·高一专题练习）函数的图像大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，
所以的定义域是，
又，
所以是奇函数，图象关于原点对称，且.
故选：C
变式8．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，的定义域为，
，所以为奇函数，
图象关于原点对称，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
变式9．（2022·四川省绵阳第一中学高一期中）在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，C符合；
当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.
故选：C.
变式10．（2022·全国·高一课时练习）如图，其所对应的函数可能是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数为，由图可知，，排除C,D，又，排除A.
故选：B.
变式11．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（    ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
【解析】作出函数的图象，如图：

由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
变式13．（2022·全国·高一课时练习）如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（    ）

A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】∵当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴，故，，，对应的a值依次是，，，．
故选：B．
变式14．（2022·全国·高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（    ）.

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；

对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；

对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；

故选：C
【方法技巧与总结】
“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
题型六：对数函数的定义域
例16．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）函数定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，解得，
故选：B.
例17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为的定义域为，
所以恒成立，
所以，所以．
故实数a的取值范围是．
故答案为：.
例18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【解析】∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
变式15．（2022·河南安阳·高一期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域是[1，3]，
∴，解得．
又，且，∴．
故函数的定义域是．
故选：C.
变式16．（2022·湖南张家界·高一期末）函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，解得，且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
变式17．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）函数定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得且，
所以函数的定义域为；
故选：C
【方法技巧与总结】
与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
题型七：对数函数的值域与最值
例19．（2022·重庆·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】函数，所以当时，，
所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.
因为，，
当时，不成立；
当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；
当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且
，综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
例20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
例21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意得，
因为，所以
所以，
由可得，则．
故选：D．
变式18．（2022·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【解析】因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
变式19．（2022·全国·高一课前预习）函数 的值域为（    ）
A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以,
即函数的值域为[3，＋∞).
故选：C
变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得在上的最小值大于等于在上的最小值，
易知函数在上单调递增，所以在上的最小值为，
函数在上单调递减，所以在上的最小值为，
所以，即.
故选:D.
变式21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
故选：D
变式22．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数的最小值是（    ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，
故选：B
变式23．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于任意，存在有等价于.
由，函数单调递增，可得
，，对称轴为，
时，，
，
解得.
故选：B
变式24．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
故选：A．
变式25．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数
∴当时，的范围是；当时，，，
由题意存在最小值，则，
解得.
故选：D．
变式26．（2022·全国·高一单元测试）已知函数(且)，则在区间上的最大值为（    ）
A． B．或 C．1 D．，
【答案】B
【解析】因为(且)，即(且)，①当时，，函数在上单调递减，所以；②当时，，函数在上单调递增，所以；
所以的最大值为或
故选：B
变式27．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）若(为自然对数)，则函数的最小值为（       ）
A．-3 B．-2 C．0 D．6
【答案】B
【解析】由题意，所以，则，设，，

又，而，所以时，，
所以函数的最小值为．
故选：B．
变式28．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
【方法技巧与总结】
数形结合
题型八：对数函数的单调性及其应用
例22．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为在上是严格减函数，所以要满足：，解得：，所以实数的取值范围是
故答案为：
例23．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是________．
【答案】
【解析】任取且，
则，
因为，所以，，即，
所以在上单调递增，的单调递增区间是，
故答案为：.
例24．（2022·陕西·汉中市龙岗学校高一期中），若，则的范围是_____________.
【答案】
【解析】由题,的定义域为,
设,则,
所以是奇函数,
因为,则,所以,
即,
因为单调递增,单调递增,所以单调递增,
则,即
故答案为：
变式29．（2022·全国·高一专题练习）已知，若，则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】作出函数的图像，如图所示，由于，故结合图像可知或.

故答案为：
变式30．（2022·全国·高一期中）函数的单调递减区间是____________.
【答案】
【解析】当时，在上单调递增，
因为函数为偶函数，
所以函数在在上单调递减.
故答案为.
变式31．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是________．
【答案】
【解析】由，解得，所以函数的定义域为，令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在其定义域上单调递增，
所以函数的单调递增区间是．
故答案为：.
变式32．（2022·天津南开·高一期末）函数f（x）=log2（2-x2）的单调减区间是________.
【答案】（0，）
【解析】令，
解得，
又t在上递减，在上递增，
所以函数f（x）=log2（2-x2）的单调减区间是（0，），
故答案为：（0，）
变式33．（2022·全国·高一单元测试）函数的单调递减区间为_____
【答案】
【解析】函数的定义域为
又是由与复合而成，
因为外层函数单调递减，所以求函数的单调递减区间即是求内层函数的增区间，而内层函数在上单调递增，所以函数的减区间为
故答案为：
变式34．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则关于的不等式的解集为____________________ ．
【答案】
【解析】令，

，
有，所以是奇函数，
所以，
又因为和 均为增函数，
所以为增函数，
因为，
所以，
所以，
解得，
故答案为：.
变式35．（2022·江苏南通·高一期末）若正数a，b满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】由得，
设，则在上为增函数，
则，等价为（a），
则，
则，
，
当时，有最大值，
故答案为：．
【方法技巧与总结】
研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
题型九：比较指数幂的大小
例25．（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
所以.
故选：D
例26．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，，，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，.
故选：C.
例27．（2022·陕西咸阳·高一期末）设，，，则三者大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故.
故选：C
变式36．（2022·广东广州·高一期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，即，
，
所以；
故选：D
变式37．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）若，，，则实数a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
而：当时不满足；当时不满足，
所以.
综上，.
故选：A
变式38．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习）若函数对任意的恒有，且任意的，均有.设，，，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，是的一条对称轴，
；
对任意的，均有，
在上单调递增；
，，
，即；
，即，，即；
综上所述：.
故选：A.
变式39．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，.
故选：D.
【方法技巧与总结】
比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
题型十：解对数型不等式
例28．（2022·重庆市青木关中学校高一阶段练习）已知幂函数的图象过点.
(1)求，的值；
(2)求不等式的解集：.
【解析】(1)因为是幂函数，
所以，又因为该函数图象过点，
所以有；
(2)因为，
所以由，
，
解集为.
例29．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一开学考试）已知函数，求不等式的解集．
【解析】，
则不等式，即或，
故或，
所以不等式的解集为或．
例30．（2022·天津天津·高一期末）已知函数，，且.
(1)求的值；
(2)求的定义域；
(3)求不等式的解集.
【解析】(1)由题可知，又因为，即，
所以.
(2)由知，，
若使有意义，只须，   
解得或，                  
所以函数的定义域为或.
(3)由对数函数的单调性可得：
由，解得或，   
由，解得，      
所以或，           
不等式的解集为或.
变式40．（2022·河北秦皇岛·高一期末）已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)试讨论关于x的不等式的解集．
【解析】(1)由题意可得解得．故函数的定义域为．
(2)当时，函数是增函数．
因为，所以解得．当时，函数是减函数．
因为，所以解得．
综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
变式41．（2022·全国·高一课时练习）已知且，函数的定义域为．
(1)求的取值范围；
(2)讨论关于的不等式的解集．
【解析】（1）因函数的定义域为，则，成立，
即有：，解得，又且，因此，或，
所以的取值范围是.
（2）由(1)知，或，不等式，
当时，函数在上单调递减，于是得，即，解得，
当时，函数在上单调递增，于是得，即，且，解得或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
【方法技巧与总结】
利用对数函数的单调性求解
题型十一：判断对数函数的奇偶性
例31．（2022·全国·高一课时练习）若函数是定义在上的奇函数，写出一组符合题意的a，b，k的值___________.
【答案】，，（答案不唯一）
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，可得.
所以，所以，
因为，，所以，
即，即，
所以，所以，故答案可以为a=1，，.
故答案为：，，.
例32．（2022·辽宁·东北育才双语学校高一期中）设函数是定义在区间上的奇函数（，），则实数n取值范围为______．
【答案】
【解析】因为函数是定义在区间上的奇函数，
所以，即，
所以，即，
所以，解得，又，
所以，此时，，
由，解得，
所以，又，
所以实数n取值范围为．
故答案为：．
例33．（2022·广东·普宁市华侨中学高一阶段练习）若函数为奇函数，则a =____________．
【答案】2
【解析】由，则，因为函数为奇函数，所以，则，故
，即函数为奇函数，故a=2.
故答案为：2.
变式42．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，
所以，
可得，函数.
(2)∵，
所以在上单调递减，且为奇函数，
由，得，
所以，
设，，
则，又，
所以，即，
故实数m的取值范围.
变式43．（2022·四川·攀枝花七中高一阶段练习）已知函数为R上的奇函数．
(1)求的值，并用定义证明函数的单调性；
(2)求不等式的解集；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为为奇函数，
所以
得
所以
下面用定义法证明单调性：
，且
则
因为，所以
所以，即
所以函数在R上单调递增.
(2)由（1）知在R上单调递增，且为奇函数，
故不等式
即，整理得，即，
解得，故不等式解集为
(3)因为在R上单调递增，所以在区间上，，
，故
当时，，不存在符合题意的；
当时，在区间上为增函数，
要使对任意的，总存在，使得成立
则需，即，解得，即
变式44．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)求不等式的解集.
【解析】（1）当时，，
.
所以函数在上的解析式为.
（2）当时，为增函数，所以在上为增函数.
由得，
所以，
所以，
所以不等式的解集为.
变式45．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
又为上的偶函数，；
.
（2）在上单调递增，又为偶函数，
关于轴对称，且在上单调递减；
又，则由得：，解得：或，
即实数的取值范围为.
变式46．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知函数为偶函数．
(1)求a的值，并证明在上单调递增；
(2)求满足的x的取值范围．
【解析】（1）由题意函数为偶函数，∴，即∴对任意恒成立，解得．∴任取，则由，可得，∴，即，∴在上单调递增．
（2）由偶函数的对称性可得在上单调递减，∴，∴，解得，∴满足的x的取值范围是．
变式47．（2022·广东·珠海市斗门区第一中学高一阶段练习）已知函数，.
(1)证明：为偶函数；
(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）证明：定义域为，




，
即为，
则为偶函数；
（2）
，
当时，，
令，则，，
当时，即，在上单调递增，
所以时，，解得，
当时即，时，，
解得：不成立；
当时，即，在上单调递减，所以时，，
解得不成立．
故存在满足条件的．
【方法技巧与总结】
断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
题型十二：反函数
例34．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．
【答案】2
【解析】因为已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，
所以与互为反函数，所以.
所以.
故答案为：2
例35．（2022·全国·高一课时练习）已知函数为函数的反函数，且在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为___________.
【答案】2
【解析】因为为函数的反函数，所以，
又，所以在上单调递增，
所以当时，，
由题意，，
所以，，
解得或（舍去）.
故答案为：2.
例36．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知函数是函数且的反函数，且的图象过点，则_______.
【答案】
【解析】因为的反函数为，
又的图象过点，
所以，，即，
故答案为：.
变式48．（2022·湖南·高一阶段练习）已知函数，，若，则________.
【答案】
【解析】，则，得：；
令，得：；
所以，分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示：

因为和互为反函数，所以和的图像关于对称，所以、两点关于对称.又、两点均在的图像上，所以，所以.
故答案为：
变式49．（2022·全国·高一专题练习）函数的反函数为，则___________.
【答案】
【解析】令，解得，.
又，所以，
所以.
故答案为：.
变式50．（2022·山东德州·高一期末）已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则______.
【答案】8
【解析】函数的图象可以由的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为，又的反函数过点，所以函数过点，所以，解得，所以.
故答案为：8
变式51．（2022·辽宁丹东·高一期末）函数的图像与函数的图像关于直线______对称．
【答案】
【解析】因为与互为反函数，
所以函数的图像与函数的图像关于直线对称.
故答案为：.
变式52．（2022·陕西安康·高一期中）若实数、满足，，则____________．
【答案】
【解析】因为，则可视为直线与函数的图象交点的横坐标，
因为，则可视为直线与函数的图象交点的横坐标，
如下图所示：

联立，解得，则直线与直线交于点，
易知直线与直线垂直，
因为函数与函数的图象关于直线对称，
则、两点关于直线对称，线段的中点为，所以，，解得.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
题型十三：对数函数性质的综合应用
例37．（2022·全国·高一期末）已知函数，则______．
【答案】2
【解析】因为（），
所以
，
所以，
故答案为：2
例38．（2022·河北省晋州市第二中学高一阶段练习）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点．画出的大致图象，如图所示．由图可知．不妨设，则，且，．因为，所以，则，故．
故答案为：

例39．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，有以下四个命题：①函数在区间上是单调增函数；②函数的图象关于直线对称；③函数的定义域为；④函数的值域为.其中所有正确命题的序号是________.
【答案】①②④
【解析】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以①正确；
函数，函数的图象关于直线对称，所以②正确；
函数的定义域是，所以③不正确；
函数，函数的值域是实数集，所以④正确.
故答案为：①②④.
变式53．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数.
(1)解不等式；
(2)若，求的取值范围.
【解析】(1)由，
则，
即，
所以；
(2)因为，
由知，
，且，，
故，
即.
变式54．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）已知，函数.
(1)若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.
【解析】（1），，
，，
，
令，则，
或，（时，等号成立）
要使与在区间有两个交点，
结合二次函数的性质可知.
（2）因为函数在上递减，
所以函数在定义域内递减.
所以在区间上的最大值为，最小值为，

，
所以对恒成立，
令，
对恒成立，
在上递增，
所以，
解得，
由于，所以，
所以的取值范围是.
变式55．（2022·山东威海·高一期末）已知函数与的图像关于直线对称，函数．
(1)若函数是奇函数，求实数的值；
(2)当时，若，且，求实数的取值范围；
(3)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
【解析】(1)由题意可知，又是奇函数，
所以对定义域内任意一个，都有，
即，可得，
所以，
整理得，即，可得；
(2)
，
设，令，
当时，即，
设，，因为，
所以，即，为的两根，整理得，
所以，，
因为，所以，即，
由，可得，
即，解得；
(3)由（2）可知，，
设，且，所以，
，
因为在上是单调函数，
所以或，
因为，所以，即，
所以或，
即对任意，都有或，
因为，所以，
所以，所以或，
所以或．

【方法技巧与总结】
如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有．
考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．

【同步练习】
一、单选题
1．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，由换底公式，有，解得，
∴，A选项错误；
函数为减函数，∴，B选项正确；
，但不一定成立， 不能得到，C选项错误；
，D选项错误.
故选：B
2．（2022·北京·牛栏山一中高一期中）函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，排除A，
所以，
故函数是偶函数，图象关于对称，排除B，
当时，，排除D，
故选：C
3．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设实数，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，即，
又，即，，
所以；
故选：C
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，则在定义域上递减，不满足题设；
当时，则在定义域上递增，又在上是增函数，
所以，可得，即.
由，故在上递增，
所以的取值范围是.
故选：A
6．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则,
解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
7．（2022·全国·高一课时练习）若，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象如下图所示，

数形结合可知：当时，，的取值范围为.
故选：D.
8．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（　　）
A．（-，2] B．（-，2）
C．[2，+） D．（2，+）
【答案】A
【解析】因为函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，
所以函数f（x）=m+log2x2，且函数f（x）在上递增，
所以函数f（x）的值域为，
因为f（x）≤4，
所以，解得，
故选：A
二、多选题
9．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）下列说法中正确的是（    ）
A．函数的值域为
B．函数的零点所在区间为
C．函数与互为反函数
D．函数与函数为同一函数
【答案】ABC
【解析】A选项：函数，当时，取最小值为，所以函数的值域为；
B选项：因为函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，且，，所以其零点所在区间为，B选项正确；
C选项：，即，可得，所以函数与函数互为反函数，C选项正确；
D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误；
故选：ABC.
10．（2022·全国·高一单元测试）若满足对定义域内任意的，都有，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】对于A，函数定义域为，取，则，，
则存在，使得，A不是；
对于B，函数定义域为，取，则，，
则存在，使得，B不是；
对于C，函数定义域内任意的，，C是；
对于D，函数定义域内任意的，，D是．
故选：CD
11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在定义域内是增函数，且，若的反函数为，则（    ）
A． B．在定义域上是增函数
C． D．在定义域上是减函数
【答案】AB
【解析】因为，且在定义域内是增函数
所以由反函数的定义及性质可知，，在定义域上是增函数，所以A，B正确，CD错误.
故选：AB
12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且）的图象经过点，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．函数为增函数
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【解析】由题意知，，解得，所以，所以函数为增函数，故A错误，B正确；
当时，，所以，故C正确
；因为，，又，所以，所以，即，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．（2022·浙江·高一期中）已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】令，，
因为在上单调递减，而函数在上是增函数，所以在上单调递减，且恒成立，所以，即，无解，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．（2022·全国·高一单元测试）若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为，
当时，易知在上单调递增，
当时，在上单调递增．
作出的大致图象，如图所示．

由图可知，，，
因为在上的最大值为，所以的取值范围为．
故答案为：
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】当时，的取值范围是,
当时，,
若存在最小值，则，
解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
16．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数，若，，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
所以函数的定义域为，
又

因为，，，
所以，
所以，
故答案为：．
四、解答题
17．（2022·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）设函数，函数的图像与的图像关于对称.
(1)求的解析式
(2)是否存在实数，使得对，不等式恒成立，若存在求出，若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为函数的图像与的图像关于对称，
所以与互为反函数，
因为，所以；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
令，则关于的不等式，即在上恒成立，
令，，
因为，所以在上单调递增，依题意只需，解得，
所以；
18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
【解析】（1）由，得，
所以函数的定义域为，
（2）函数为奇函数，证明如下：
因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，
（3）由，得，
所以，
因为在定义域内为减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
19．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（且）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由得.所以的定义域为，
因为函数的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（2）①当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
②当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
综上，①当时，存在，使得不等式成立；②当时，存在，使得不等式成立.
20．（2022·上海市控江中学高一期中）已知常数，函数，设该函数的图像为.
(1)若图像经过点，求的值.
(2)对于（1）中求得的，解方程;
(3)是否存在整数，使得有最大值且该最大值也是整数?如果存在，求出的值;如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题知：，解得.
（2）当时，

即，
整理得：，解得或.
当时，，，符合题意，
当时，，舍去.
故.
（3），令得，.
令，解得，
因为，所以.
设，要使有最大值，需有最大值.
，开口向下，对称轴为.
当时，即时，在区间为减函数，
此时无最大值，舍去.
当时，
在区间为增函数，在区间为减函数，
所以.
即.
因为，所以，
令，且，，则，.
解得，当且仅当取等号.
此时，，
所以存在使得有最大值.
21．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【解析】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.