人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念习题，共13页。试卷主要包含了前n项和Sn，an与Sn的关系，下列命题不正确的是，已知数列满足，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
4.1.2 数列的递推公式知识点一　数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示an与它的前一项an－1(或前n项)之间的关系，而通项公式表示an与n之间的关系．要点二　an与Sn的关系1．前n项和Sn：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝2．an与Sn的关系：an＝ 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．(　　)(2)有些数列可能不存在最大项．(　　)(3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　)(4)所有的数列都有递推公式．(　　)【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　)A．－3       B．－11       C．－5      D．19【答案】D【解析】a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.3．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项(　　)A．4       B．8       C．7       D．12【答案】B【解析】令2n2－3＝125得n＝8或n＝－8(舍)，故125是第8项．故选B.4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an＝________.【答案】2n－1【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1满足上式，所以{an}的通项公式为an＝2n－1.题型一　数列中项与项数关系的判断【例1】已知数列，，2，，…(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断4和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于2＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为an＝；a20＝＝.(2)令＝4，两边平方得3n＝33，解得n＝11，是正整数令＝10，两边平方得n＝，不是整数．∴4是数列的第11项，10不是数列中的项．【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？【解析】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，所以68不是该数列的一项．题型二　已知Sn求an例2　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求an.【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32当n＝1时，a1＝S1＝－28，适合上式，所以an＝4n－32.借助an＝【变式探究1】将本例中的“Sn＝2n2－30n”换为“Sn＝2n2－30n＋1”，求an.【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2×1－30×1＋1＝－27.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.验证当n＝1时，上式不成立∴an＝.方法归纳已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝【跟踪训练2】已知数列：a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求an.【解析】当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式相减得3n－1an＝－＝，则an＝.当n＝1时，a1＝，满足an＝，所以an＝.题型三　由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.【答案】【解析】∵an＋1＝an＋n＋1，a1＝1，∴an＋1－an＝n＋1，∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a2－a1＝2以上式子相加得：an－a1＝2＋3＋…＋n∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝.变形为：an＋1－an＝n＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求．【变式探究2】若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝an”，则an＝________.【答案】【解析】∵an＋1＝an，a1＝1，∴＝，∴＝，＝，…，＝，以上式子两边分别相乘得：＝××…×＝∴an＝a1＝.【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1求通项公式．(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)A．2＋ln n   B．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n  D．1＋n＋ln n【答案】A【解析】∵在数列{an}中，an＋1－an＝ln＝ln∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋2＝ln＋2＝2＋ln n.故选A.【易错辨析】数列中忽视n的限制条件致误【例4】设Sn为数列{an}的前n项和，log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.【答案】【解析】由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．∴an＝【易错警示】  出错原因忽视n＝1的情况致错，得到错误答案：an＝2n.  纠错心得已知an与Sn的关系求an时，常用an＝Sn－Sn－1(n≥2)来求an，但一定要注意n＝1的情况.一、单选题1．设数列的前n项和为，，，（），若，则n的值为（    ）．A．1007 B．1006 C．2012 D．2014【答案】A【分析】根据数列与的关系证得数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式求出题中的式子，化简计算即可.【解析】，，整理可得，，两边同时除以可得，又数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，，由题意可得，，解得．故选：A．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ）A．171 B．190 C．174 D．193【答案】C【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值．【解析】后项减前项可得所以，所以.所以.故选：C3．在数列中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案.【解析】因为，，所以，所以.故选：D.4．数列，，，，，…的一个通项公式为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式.【解析】，，，，，一个通项公式为：.故选：A.5．下列命题不正确的是（    ）A．数列的一个通项公式是B．已知数列，且，则C．已知数列的前项和为，那么123是这个数列的第7项D．已知，则数列是递增数列【答案】C【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前项和与第项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A，数列变为，，，A正确；对于B，，且，B正确；对于C，，，当时，，，无正整数解，所以123不是这个数列的第7项，C错误；对于D．由，易知D正确，故选：C．6．已知数列的前项和，则数列的前项和为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据，求出，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列的前项和，，两式作差得到，又当时，，符合上式，所以，，所以，所以.故选：D.7．数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（    ）.A．190 B．192 C．180 D．182【答案】B【分析】根据公式计算通项公式得到，故，求和得到答案.【解析】当时，；当时，，经检验不满足上式，所以，，则，.故选：B.8．已知数列满足，，则的值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】首先根据已知条件得到，再利用累加法求解即可.【解析】因为，所以，所以，即，当时，，，解得当时，上式成立，故，故.故选：B 二、多选题9．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（    ）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．【答案】ABD【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.【解析】依题意，当时，，当时，，，所以，所以，所以.当时，；当时，符合上式，所以.，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD10．已知数列的前n项和，数列满足，若，，（，）成等差数列，则k的值不可能是（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】AD【分析】利用与的关系，求得，进而求得，然后根据，，（，）成等差数列，得到与的关系，进而求得答案.【解析】当时，，当时，，故（），（）．因为，，（，）成等差数列，所以，即，所以，（，），从而的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，故选:AD． 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题11．数列的前n项的和，________．【分析】利用时，求，同时注意．【解析】解析：由题可知，当时，，当时，，故答案为：．12．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.【答案】【解析】解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝13．已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为___________.【答案】或【分析】由可得数列是公比为的等比数列，然后根据求出即可.【解析】因为，所以当时，，即当时，，然后可得，即所以数列是公比为的等比数列所以，，因为，所以，当时， ，当时， ， 故答案为：或 四、解答题14．已知数列的前项和，且的最大值为．（1）求常数及；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），（2）【分析】（1）由于，则可得，从而可求出，然后利用求出，（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法求解即可（1）因为，所以当时，取得最大值，所以，因为，所以，所以，当时，，当时，，满足上式，所以（2）由（1）可得，所以15．已知数列满足，求数列的通项公式．【答案】【分析】先根据前项和与通项的关系得，再检验时也满足条件即可求得答案.【解析】因为①，所以②，①-②得，即 ,当时，，满足，所以16．已知数列的前项和，求数列的通项公式．【答案】【分析】根据与的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】得根据题意，所以数列的通项公式为