数列的递推公式练习题

数列的递推公式

副标题

1. 在数列中，，，，则   

A.  B.  C.  D.

2. 已知数列满足，，则   

A.  B.  C.  D.

3. 已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是         

A.  B.  C.  D.

4. 已知数列满足：，当时，，则关于数列说法正确的是

A.  B. 数列为递增数列
C. 数列为周期数列 D.

5. 设是定义在上的奇函数，满足，数列满足，且则 

A.  B.  C.  D.

6. 数列满足递推公式，且，，则   

A.  B.  C.  D.

7. 设数列的前项和分别为，，且，则下列结论正确的是   

A.  B.
C.  D.

8. 已知数列满足：则使成立的最小正整数为  

A.  B.  C.  D.

9. 已知数列满足：，，则数列的通项公式是          ．
10. 已知正项数列满足，数列满足，且对任意的恒成立，则下列结论中正确的是   

A.
B. 数列从第二项起是单调递增数列
C.
D.

11. 已知数列满足，，且，则数列的通项公式为          ．
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，累加法的应用是求解通项的关键．
由，得，数列是以为首项，公比为的等比数列，再用累加法求出的通项公式．

【解答】

解：由题意，递推式，两边同时减去，
可得
，
数列是以为首项，公比为的等比数列，
．
时，，，，，
以上个式子累加得，
，
当时，也满足，
从而可得．
故选A．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推公式，考查利用累加法求通项公式及对数运算，属于中档题．
利用累加法结合对数的运算性质求解即可．

【解答】

解：由题意得，
所以当时，；
当时，；
当时，；； ．
以上各式，两端分别相加得
，
所以．
将代入得，，
故选C．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查由数列的递推关系求数列的通项，数列的函数特征的应用，属于难题．
根据已知条件构造出，可设，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求出通项公式，利用数列的函数特征即可求解答案．

【解答】

解：由题意，可知：，
，
等式两边同时除以，可得：
，
可设，则，
，即：，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
，
可把看成关于的二次函数，则根据二次函数的性质，可知：
当或时，可能取最小值，
当时，，
当时，，
当时，取得最小值．
即的最小的一项是．
故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

利用递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误；
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．

【解答】

解：得，
，即数列是首项为，公差为的等差数列，
，．
，由二次函数性质可得为递增数列
所以ABD正确．
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数值的求法，考查数列的递推公式、函数的奇偶性和周期性等基础知识，解题的关键是要通过已知条件知道函数的周期，考查学生的运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

由及是奇函数，可得函数周期为，由数列满足，且可求出，由此能求出．

【解答】

解：由知函数对称轴为，又是奇函数，

所以函数周期为．
数列满足，且．
则，
则
，
也满足上式，
，
则，

．

故选：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查累加法求数列的前项和．
首先根据递推公式变形，然后利用累加法求和得到，令即可．

【解答】

解：根据递推公式可得，
左右两边同时乘以，
有，
则，

，
累加可得：，
又因为，所以上式为，
令，
则．
故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，裂项相消法，属于中档题．
首先由的递推关系，求出和，从而判断选项AB是正确的，将代入可求得的表达式，再利用裂项相消的办法求出，最后利用的单调性判断选项，最终得出本题答案．

【解答】

 解：由题意得，，
当时，
，
且当时也成立，
，
易得当时，，
且当时也成立，
所以，
，故A，B正确

，


，
又随着的增加而增加，
，
，C错误，D正确．
故选ABD．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列递推关系求通项公式，及指数不等式的解法，等比数列的通项公式，考查抽象构造能力及计算能力，属于难题．
首先构造数列，并求出，解不等式即可求出结果．

【解答】

解：，
两边取对数得：，
故为等比数列，且首项为，公比为，
所以，
则有，
，
当时，，当时，，
由于，所以，
所以使成立的最小正整数为．
故选C．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系和裂项相消法，属于中档题．
先得出，则，由累加法和裂项相消可得数列的通项公式．

【解答】

解：易得，得，
当时，，
所以，
，

，
累加法得，
又，得时，，
所以时，，
由，可得，也满足上式，
所以，，
故答案为．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，数列的函数特征，属于难题．
由已知得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而确定的取值范围，得到，同时结合数列特征，由此对四个选项逐一分析判断即可．

【解答】

解：因为，且，
所以，即，
令，则，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，，
所以由可得
因为，
所以由可得，故D正确；
由可得，
依次类推可得，
故，故C正确；
由可得，故，故A正确；
由题意可得，在内单调递减，且与在内有且只有一个交点，
由，
研究与在内函数图象的性质，如图所示，


数列逐渐趋近与与的交点的横坐标，由图象可知，数列从第二项起是非单调的，
又数列满足，即数列从第二项起也是非单调的。
故B错误；
故选ACD．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

 本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“累加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“累加法”求解是解答的关键．

 化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用累加法，即可求解，得到答案．

【解答】

解：由题意，数列满足，

两侧同除，可得，即，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，

所以

，

当时，适合上式，

所以，所以数列的通项公式．

故答案为：