数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念学案设计

4.2.1 等差数列的概念（1）  导学案

1.理解等差数列的概念

2.掌握等差数列的通项公式及应用

3.掌握等差数列的判定方法

重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用

难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定

1．等差数列的概念

2．等差中项

(1)条件：如果a，A，b成等差数列．

(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．

(3)满足的关系式是a＋b＝2A.

3.从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，

则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(    )

(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(    )

(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(   )

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列． (　　)

(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　)

 (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(       )

3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　)

A．22　  B．24　　　C．26　　　D．28

4．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　)

A．－1       B．1         C．3         D．4

一、    学习导引

        我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，

建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学

问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规

律比较简单的数列入手。

二、新知探究

1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形

的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到

外各圈的示板数依次为

9,18,27,36,45,54,63,72,81               ①

2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是

38,40,42,44,46,48                               ②

3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为

25,24,23,22,21                                       ③

4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年，如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为

,       ④

       在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？

思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？

三、典例解析

例1.（1）已知等差数列的通项公式为求公差和首项；

（2）求等差数列8,5,2…的第20项。

求通项公式的方法

(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．

(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，

再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．

(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．

跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.

(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

例2 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．

(2)已知，，是等差数列，求证：，，也是等差数列．

等差中项应用策略

1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝.

2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.

跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数

成等差数列，求此数列．

1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)

A．是公差为－3的等差数列                 B．是公差为5的等差数列

C．是首项为5的等差数列                 D．是公差为n的等差数列

2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)

A．8　    B．12　　　C．16　　　D．24

3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为______．

4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.

5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程

x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．

参考答案：

知识梳理

1. ×; ×; √

2．解析： (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；

若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．

(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；

d<0时为递减数列．

(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，

故a，b，c为等差数列．

 [答案]　(1)×　(2)√　(3)√

3．D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]

4．D　[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]

学习过程

二、    新知探究

思考1： 设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得

=

所以= , = , = ,…

于是  + ,

+ =(+ ) + + 2,

+ =(+ ) + + 3,……

归纳可得+() (n)

当n时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立。

因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()

思考2： [提示]　还可以用累加法，过程如下：

∵a2－a1＝d，

a3－a2＝d，

a4－a3＝d，…

an－an－1＝d(n≥2)，

将上述(n－1)个式子相加得

an－a1＝(n－1)d(n≥2)，

∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，

当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，

∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．

三、    典例解析

例1. 分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由= ，即可求出公差，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项

解：（1）当 的通项公式为，

可得 .

于是=()-()=2.

把代入通项公式，可得

（2）由已知条件，得

把 代入+() ,得

()=11

把代入上式，得

11

所以，这个数列的第20项是

跟踪训练1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.

∵a5＝10，a12＝31，则

解得

∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.

 (2)　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则由题意得解得

故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.

法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，

∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.

法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.

由a15＝8，a60＝20得解得

∴a75＝75×＋4＝24.

例2[思路探究]　(1)―→―→

(2)

(1)6　[由题意得

∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6.]

(2)[证明]　∵，，成等差数列，

∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．

∵＋＝

＝＝＝＝，

∴，，成等差数列．

跟踪训练2[解]　∵－1，a，b，c，7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项，

∴b＝＝3.

又a是－1与3的等差中项，

∴a＝＝1.

又c是3与7的等差中项，

∴c＝＝5.

∴该数列为：－1，1，3，5，7.

达标检测

1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)

A．是公差为－3的等差数列                 B．是公差为5的等差数列

C．是首项为5的等差数列                 D．是公差为n的等差数列

A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]

2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)

A．8　    B．12　　　C．16　　　D．24

C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则由a2＝2，a5＝8，得

解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]

3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为______．

　[＝＝＝.]

4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.

解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，

则

即解得

∴an＝－2n＋21(n∈N*)．

∴a10＝－2×10＋21＝1.

(方法二)设公差为d，

∵a8＝a5＋(8－5)×d，

∴d＝＝－2，

∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.

(方法三)设an＝An＋B，

则即

解得

∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.

5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程

x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．

[解]　由题意得∴

解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.

故数列{an}的通项公式为an＝2n.