2021学年4.1 实数指数幂和幂函数精练

这是一份2021学年4.1 实数指数幂和幂函数精练，共6页。

1．将 eq \r(2\r(2\r(2)))化为分数指数幂为( )
A．232 B．234 C．274 D．278
2．若3a·9b＝ eq \f(1,3)，则下列等式正确的是( )
A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1
3．已知a＋ eq \f(1,a)＝7，则a12＋a−12＝( )
A．3 B．9 C．－3 D．±3
4．化简(2 eq \r(2)· eq \r(a\r(2)))2 eq \r(2)·( eq \r(π,a2))－π，其结果为( )
A．16 B．16a2 C．a2 D．1
5．若10a＝5，10b＝2，则a＋b＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．若3x－2y＝2，则 eq \f(25y,53x)＝( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,25) C．5 D．25
7．化简 eq \f(（\r(2)）\r(2)·\r(2\r(2)),\r(3,8\r(2)))＝________．
8．若a2＋a－2＝7，则a2－a－2＝________．
9．计算下列各式：
(1)7 eq \r(3,3)－3 eq \r(3,24)－6 eq \r(3,\f(1,9))＋ eq \r(4,3\r(3,3))；
(2)2x14(-3x14y−13)÷ (-6x−32y−43).
10．已知a是128的七次方根，求 eq \f(1,1＋\r(4,a))＋ eq \f(1,1－\r(4,a))＋ eq \f(2,1＋\r(a))＋ eq \f(4,1＋a)的值．
[提能力]
11．(多选)下列结论中不正确的是( )
A．当a<0时(a2)32＝a3
B． eq \r(n,an)＝|a|
C．函数y＝(x－2)12－(3x－7)0的定义域是[2，＋∞)
D．若100a＝5，10b＝2，则2a＋b＝1
12．设2a＝5b＝m，且 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A． eq \r(10) B．10 C．20 D．100
13．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于________.
14．已知m＝2，n＝3，则 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3,m2)\r(n－3),n·\r(3,m－2))÷\r(\f(m\r(n－4),n\r(m－2))))) eq \s\up12(3)的值是________．
15．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))的值．
[培优生]
16．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω， eq \f(1,ω)＝ eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＋ eq \f(1,z)，求a，b，c的值．
课时作业(二十三) 无理数指数幂
1．解析： eq \r(2\r(2\r(2)))＝(2 eq \r(2\r(2))) eq \f(1,2)＝[2(2 eq \r(2)) eq \f(1,2)] eq \f(1,2)＝(2(232) eq \f(1,2)) eq \f(1,2)＝(2·234) eq \f(1,2)＝(274) eq \f(1,2)＝278，故选D.
答案：D
2．解析：∵3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝ eq \f(1,3)，∴a＋2b＝－1.故选C.
答案：C
3．解析：∵(a eq \f(1,2)＋a－ eq \f(1,2))2＝a＋ eq \f(1,a)＋2＝7＋2＝9，又a>0，∴a12＋a－ eq \f(1,2)＝3.
答案：A
4．解析：(2 eq \r(2)· eq \r(a\r(2)))2 eq \r(2)＝2 eq \r(2)×2 eq \r(2)×a eq \f(\r(2),2)×2 eq \r(2)
＝16a2，
( eq \r(π,a2))－π＝a eq \f(2,π)×(－π)＝a－2，
所以原式＝16a2·a－2＝16，故选A.
答案：A
5．解析：10a＝5，10b＝2，
所以10a·10b＝10a＋b＝5×2＝10，
a＋b＝1.
答案：C
6．解析： eq \f(25y,53x)＝52y－3x＝5－2＝ eq \f(1,25).
答案：B
7．解析：原式＝ eq \f(2\s\up6(\f(\r(2),2))·2\s\up6(\f(\r(2),2)),8\s\up6(\f(\r(2),3)))＝ eq \f(2\r(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(23))\s\up6(\f(\r(2),3)))＝ eq \f(2\r(2),2\r(2))＝1.
答案：1
8．解析：因为a2＋a－2＝7，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－a－2))2＝a4＋a－4－2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋a－2))2－4＝49－4＝45，
所以a2－a－2＝±3 eq \r(5).
答案：±3 eq \r(5)
9．解析：(1)原式＝7×3 eq \s\up6(\f(1,3))－3×3 eq \s\up6(\f(1,3))×2－6×3－ eq \f(2,3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×3\s\up6(\f(1,3)))) eq \s\up6(\f(1,4))＝3 eq \s\up6(\f(1,3))－6×3－ eq \f(2,3)＋3 eq \s\up6(\f(1,3))
＝2×3 eq \s\up6(\f(1,3))－2×3×3－ eq \f(2,3)＝2×3 eq \s\up6(\f(1,3))－2×3 eq \s\up6(\f(1,3))＝0.
(2)2x eq \s\up6(\f(1,4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x\s\up6(\f(1,4))y－\f(1,3)))÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6x－\f(3,2)y－\f(4,3)))
＝[2×(－3)÷(－6)]x eq \f(1,4)＋ eq \f(1,4)＋ eq \f(3,2)y－ eq \f(1,3)＋ eq \f(4,3) ＝x2y.
10．解析：∵a是128的七次方根，∴a＝ eq \r(7,128)＝ eq \r(7,27)＝2.
∴ eq \f(1,1＋\r(4,a))＋ eq \f(1,1－\r(4,a))＋ eq \f(2,1＋\r(a))＋ eq \f(4,1＋a)
＝ eq \f(2,（1＋\r(4,a)）（1－\r(4,a)）)＋ eq \f(2,1＋\r(a))＋ eq \f(4,1＋a)
＝ eq \f(2,1－\r(a))＋ eq \f(2,1＋\r(a))＋ eq \f(4,1＋a)
＝ eq \f(4,（1－\r(a)）（1＋\r(a)）)＋ eq \f(4,1＋a)
＝ eq \f(4,1－a)＋ eq \f(4,1＋a)＝ eq \f(8,1－a2)＝－ eq \f(8,3).
11．解析：取a＝－2，可验证A不正确；当a<0，n为奇数时，B不正确；y＝(x－2)12－(3x－7)0的定义域应是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,3)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，＋∞))，C不正确；D.由100a＝5，得102a＝5，又10b＝2，两式相乘得102a＋b＝10，即2a＋b＝1正确．
答案：ABC
12．解析：∵2a＝m，5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝m eq \f(1,a)·m eq \f(1,b)＝m eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)，∴m2＝10，∴m＝ eq \r(10).故选A.
答案：A
13．解析：y＝1＋2－b＝1＋ eq \f(1,2b)＝1＋ eq \f(1,x－1)＝ eq \f(x,x－1).
答案： eq \f(x,x－1)
14．解析：m＝2，n＝3，
则原式＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(m\s\up6(\f(2,3))·n－\f(3,2),n·m－\f(2,3))÷\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m·n－2,n·m－1)))\s\up6(\f(1,2)))) eq \s\up12(3)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\s\up6(\f(4,3))·n－\f(5,2)·m－1·n\s\up6(\f(3,2)))) eq \s\up12(3)＝m·n－3
＝2×3－3＝ eq \f(2,27).
答案： eq \f(2,27)
15．解析： eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))＝ eq \f(（a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))）2,（a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2))）（a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))）)＝ eq \f(（a＋b）－2（ab）\s\up6(\f(1,2)),a－b).①
∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，
∴a＋b＝12，ab＝9，②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6 eq \r(3).③
将②③代入①，得 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))＝ eq \f(12－2×9\s\up6(\f(1,2)),－6\r(3))＝－ eq \f(\r(3),3).
16．解析：∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax)) eq \s\up6(\f(1,xω))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(70ω)) eq \s\up6(\f(1,xω))，∴a eq \s\up6(\f(1,ω))＝70 eq \s\up6(\f(1,x)).
同理，可得b eq \s\up6(\f(1,ω))＝70 eq \s\up6(\f(1,y))，c eq \s\up6(\f(1,ω))＝70 eq \s\up6(\f(1,z)).
∴a eq \s\up6(\f(1,ω))·b eq \s\up6(\f(1,ω))·c eq \s\up6(\f(1,ω))＝70 eq \s\up6(\f(1,x))·70 eq \s\up6(\f(1,y))·70 eq \s\up6(\f(1,z))，
即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(abc)) eq \s\up6(\f(1,ω))＝70 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＋ eq \f(1,z).
又 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＋ eq \f(1,z)＝ eq \f(1,ω)，a，b，c为正整数，
∴abc＝70＝2×5×7.
∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.