高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质教课内容课件ppt

课后素养落实(四十九)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝(　　)

A．5　　　 　B．4　　　 　C．3　　　 　D．2

B　[由函数的图象可得＝×＝－x0＝，解得ω＝4.]

2．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)

A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝

C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝

D　[∵＝π，∴ω＝2.

∵f(0)＝，∴2sin φ＝.

∴sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.]

3．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数

A　[y＝sin＝sin，向左平移个单位长度后为y＝sin＝sin 2x，为奇函数．]

4．(多选题)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有f＝f ，则f 等于(　　)

A．－3 B．－1

C．0 D．3

AD　[由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3.]

5．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法正确的是(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝－对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

D　[将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.

令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故A错误．

令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故B错误．令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C错误，D正确．]

二、填空题

6．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.

2　　[由题意知，T＝2×＝π，

所以ω＝＝2；

又因为当x＝时有最大值2.

f ＝2sin＝2sin＝2，

所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤，所以φ＝.]

7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝__________.

　[由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(0)＝sin φ＝sin ＝.]

8．某同学利用描点法画函数y＝Asin (ωx＋φ)(其中0<A≤2,0<ω<2，－<φ<)的图象，列出的部分数据如下表：

经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式应是________．

y＝2sin　[在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．

根据函数图象的大致走势，

可知点(1,0)不符合题意；

又因为0<A≤2，函数图象过(4，－2)，

所以A＝2.

因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1，

又∵－<φ<，∴φ＝，

由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，

知x＝1时函数取得最大值2，

因此函数的最小正周期为6.

∴ω＝.∴y＝2sin.]

三、解答题

9．已知f(x)＝sin(2x－φ)－1(0<φ<π)的一个零点是.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当x∈时，求函数的最大值以及最小值．

[解]　(1)依题意有f＝0，

所以sin－1＝0.

因此cos φ＝.又因为0<φ<π，所以φ＝.

故f(x)＝sin－1，其最小正周期为T＝＝π.

(2)由x∈，得2x－∈，

则sin∈，

所以－－1≤sin－1≤－1，

所以函数y＝f(x)的最大值为－1，最小值为－－1．

10．已知函数f(x)＝sin.

(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；

(2)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？

[解]　(1)列表如下：

描点连线，图象如图所示．

(2)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，即可得到f(x)的图象．

1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)

A． B．

C． D．

C　[由题图知，f＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，

∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C．]

2．(多选题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．函数f(x)的图象关于点对称

C．函数f(x)在区间上单调递增

D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为

BCD　[由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的图象可得，

A＝2，＝－＝，因此T＝π，

所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，过点，

因此＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<|φ|<π，

所以φ＝，所以f(x)＝2sin.

当x＝时，f ＝－1，故A错；

当x＝－时，f＝0，故B正确；

当x∈时，2x＋∈，所以f(x)＝2sin在x∈上单调递增，故C正确；

由f(x)＝2sin＝1，得sin＝，∴2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或.∴函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为0＋＋π＋＝，故D正确．]

3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝__________.

　[依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，

∴f(x)图象关于直线x＝对称，

即关于直线x＝对称，且－<T＝，

∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，

∴ω＝.]

4．函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点个数为________，所有零点之和为________．

8　8　[函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点即

方程2sin πx＝的根，

作函数y＝2sin πx与y＝的图象如下：由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个零点．

y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，

令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3,3]，

该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：

(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；

(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

[解]　(1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，又解得令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋1．

(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－，

∵x∈，

∴t∈，作出y＝sin t的图象，如图所示，

当sin t＝s在上有两个不同的实数解时，s∈，∴当x∈时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．