高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念优质导学案

5.2.2  同角三角函数的基本关系

【学习目标】

【自主学习】

同角三角函数的基本关系

1.平方关系

(1)公式：sin2α＋cos2α＝     .

(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于  .

2.商数关系

(1)公式：＝     (α≠kπ＋，k∈Z)．

(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于           ．

 注意：(1) “同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．

(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦．

(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　　)

(2)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立. (　　)

(3)若cosα＝0，则sinα＝1.(　　)

(4)若sinα＝，则cosα＝＝.(　　)

(5)因为sin2 π＋cos2 ＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．  (　　)

2.化简的结果是(　　)

A．cos　      B．sin      C．－cos       D．－sin

【经典例题】

题型一  利用同角三角函数的基本关系式求值

角度1：已知一个三角函数值求其余两个值

利用同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1和商数关系＝tanα，可以实现在sinα，cosα，tanα三个值之间“知一求二”，即知道其中一个可以求其余两个。

注意：若题目中没有指出α是第几象限角，必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论．

例1 (1)已知sinα＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；

(2)已知tan α＝2，求sin α与cos α的值．

【跟踪训练】1 已知cosα＝－，求sinα和tanα.

角度2：关于sin α,cos α的齐次式的求值问题

1.已知tanα＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．

2.对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．

例2 已知＝2，计算下列各式的值．

(1)；

(2)sin2α－2sin αcos α＋1.

【跟踪训练】2 已知tanα＝3，求的值．

角度3：利用sin α±cos α与sin αcos α之间关系求值

若已知 中的一个,则利用方程思想进一步可以求得 的值,从而求出其余的三角函数值．涉及的三角恒等式有：

(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；

(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；

(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；

(4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.

例3 已知sin α+cos α=，α∈(0,π),求tan α的值.

(1)   求2sin αcos α的值；

(2)   求sin α-cos α的值；

(3)   求sin α,cos α,tan α的值.

【跟踪训练】3已知sin α·cos α＝－，α∈(0，π)，求cos α－sin α.

题型二   利用同角三角函数的基本关系化简

点拨：三角函数式化简的常用方法

1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.

2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

例4 化简：(1)－；(2).

【跟踪训练】4化简： (1).   (2)

题型三   利用同角三角函数的基本关系证明

点拨：证明三角恒等式常用的方法

1.从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．

2.左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．

3.综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．

4.比较法：即证左边－右边＝0或证＝1.

例5 求证：＝.

【跟踪训练】5求证：·＝1.

【当堂达标】

1.已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于(　　)

A.        B．－         C.    D．－

2.已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－        B．－       C.   D.

3.已知tan α＝－，则的值是(　　)

A.           B．3　　     C．－　　　 D．－3

4.已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝        .

5.化简：tanα，其中α是第二象限角．

6.求证：sin4α－cos4α＝2sin2α－1.

7.已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，求：

(1)sinαcosα；(2)sinα－cosα；(3)sin3α＋cos3α.

【参考答案】

【自主学习】

1  1  tan α  角α的正切

【小试牛刀】

1. (1)√　(2)×　(3)×　(4)×  (5)×

2.C 解析：因为是第二象限角，所以cos＜0，所以＝＝＝－cos.

【经典例题】

例1 解： (1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.

又∵α是第三象限角，∴cosα<0，

即cos α＝－，∴tan α＝＝－×＝.

(2)∵tan α＝2>0，∴α是第一或第三象限角．

∵tan α＝2，∴＝2，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.

当α为第一象限角时，cosα＝，sin α＝2cos α＝；

当α为第三象限角时，cos α＝－，sin α＝2cos α＝－.

【跟踪训练】1  解：sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，

因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角，

当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；

当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.

例2 解：由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.

(1)法一(换元)原式＝＝＝.

法二(弦化切)原式＝＝＝.

(2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.

【跟踪训练】2 解：原式＝＝＝－.

例3 思路解读：

由sin α+cos α求出2sin αcos α的值,利用2sin αcos α的符号判断α所在象限，再求出sin α-cos α的值,从而求出sin α、cos α的值,最后求出tan α的值.

解：(1)∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,∴2sin αcos α=.

(2)∵2sin αcos α=<0,

又α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0,∴α∈(,π),

∴sin α-cos α==.

(3)由(1)，(2)得sin α=,cos α=,∴tan α= .

【跟踪训练】3因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，

cos α－sin α＝－＝－＝－.

例4  (1)－

＝

＝＝＝－2tan2α.

(2)＝

＝＝1.

【跟踪训练】4 (1)原式＝＝＝1.

(2) 因为sin1>cos1，所以＝＝sin1－cos1.

例5 解：法一：(切化弦)

左边＝＝，

右边＝＝.

因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，

所以＝，

所以左边＝右边．

所以原等式成立．

法二：(由左至右)

∵左边＝

＝

＝

＝

＝

＝右边，

∴原等式成立．

【跟踪训练】5证明： ·

＝·

＝·

＝＝

＝1.

【当堂达标】

1.B 解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin2θ＝1－cos2θ＝1－＝，又∵α是第四象限角，∴sinα<0，即sinθ＝－.

2.B 解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.

3.A解析：因为tan α＝－，所以＝＝＝.

4.－　解析：因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，

所以cos α＝－.

5.解：因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.

原式＝tanα＝tanα

＝·＝·＝－1.

6.证明：左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝右边．所以等式成立．

7.解：(1)由sinα＋cosα＝，

平方得2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－.

(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，

∴sinα－cosα＝±.

又由(1)知sinαcosα<0，∴α∈，

∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα＝.

(3)∵sin3α＋cos3α

＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)

＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，

由(1)知sinαcosα＝－，且sinα＋cosα＝，

∴sin3α＋cos3α＝×＝×＝.