- 2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(分层练习)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 试卷 0 次下载
- 2.3 第2课时 一元二次不等式的综合应用(分层练习)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 试卷 0 次下载
- 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质(学案)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 学案 1 次下载
- 2.2 第1课时 基本不等式的证明(学案)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 学案 1 次下载
- 2.2 第2课时 基本不等式的综合应用(学案)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 学案 0 次下载
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质优秀第1课时学案设计
展开第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
【学习目标】
课程目标 | 学科素养 |
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小. | 1、逻辑推理 2、数学运算 |
【自主学习】
一.基本事实:
两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a=b,a<b.
依据 | a>b⇔ ;a=b⇔ ;a<b⇔ . |
结论 | 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小. |
注意:符号“⇔”叫做等价号,读作“等价于”,“p⇔q”的含义是:p可以推出q,q也可以推出p,即p与q可以互推.
思考1:x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法,比较x2+1与2x的大小吗?
思考2:若a>b,且ab>0,则与的大小关系如何?
二.重要不等式
∀a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)实数a不大于-2,用不等式表示为a≥-2.( )
(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(3)若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确.( )
2.某购买甲产品x件,乙产品y件,甲、乙两种产品总量至少需要120个,则x,y应满足的不等关系是( )
A.x+y>120 B.x+y<120 C.x+y≥120 D.x+y≤120
【经典例题】
题型一 用不等式(组)表示不等关系
点拨:将不等关系表示成不等式(组)的思路
①读懂题意,找准不等式所联系的量.
②用适当的不等号连接.
③多个不等关系用不等式组表示.
例1 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就可能相应减少10件.若把提价后的商品售价设为x元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元?
点睛:根据“利润=销售量×单件利润”,把利润用x表示出来,“不低于”即“大于或等于”,可列出不等式.
【跟踪训练】1 如图所示的两种广告牌,其中图1是由两个等腰直角三角形构成的,图2是一个矩形,则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a,b(a≠b)的不等式表示为________.
题型二 数(式)的大小比较
点拨:作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
1.作差法比较的步骤:作差―→变形―→定号―→结论.
2.变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化;⑤分类讨论.
例2
例2 比较下列各组中两个代数式的大小:
(1)x2+3与3x;
(2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
【跟踪训练】2 已知x,y均为正数,设m=+,n=,比较m和n的大小.
【当堂达标】
1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A.30x-60≥400 B.30x+60≥400 C.30x-60≤400 D.30x+40≤400
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的身高x cm,小华的身高y cm,则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”
3.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.与x有关
4.武广铁路上,高速列车跑出了350 km/h的高速度,但这个速度的2倍再加上100 km/h,还超不过波音飞机的最低时速,可这个速度已经超过了普通客车的3倍,设高速列车速度为v1,波音飞机速度为v2,普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________.
5.若实数a>b,则a2-ab____ba-b2.(填“>”或“<”)
6.设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.
【课堂小结】
1.知识点:
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)重要不等式.
2.方法归纳:作差法.
3.常见误区:实际问题中变量的实际意义.
【参考答案】
【自主学习】
一. a-b>0 a-b=0 a-b<0 差 0
思考1:作差 x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x.
思考2:因为ab>0,所以a与b同号.而-=,
又a>b,所以b-a<0. 所以-<0,即<.
二.≥
【小试牛刀】
1. (1)× (2) √ (3) √
2.C
【经典例题】
例1 解:若提价后商品的售价为x元,则销售量减少×10件,因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x-8)[100-10(x-10)]≥300.
【跟踪训练】1 (a2+b2)>ab
例2 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3=2+≥>0,
∴x2+3>3x.
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
∵a>0,b>0且a≠b,
∴(a-b)2>0,a+b>0.
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
【跟踪训练】2解:∵m-n=+-=-==.
又x,y均为正数,
∴x>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x-y)2≥0.
∴m-n≥0,即m≥n(当x=y时,等号成立).
【当堂达标】
1. B 解析: x月后他至少有400元,可表示成30x+60≥400.
2.CD 解析:对于A,x应满足x≤2 000,故A错;对于B,x,y应满足x<y,故B不正确;
CD正确.
3.A 解析:M-N=x2+x+1=+>0. ∴M>N.
4.2v1+100≤v2,v1>3v3
5. > 解析:因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0.
6.解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)(x2+y2)-(x-y)(x+y)2
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=(x-y)(-2xy).
由于x<y<0,所以x-y<0,-2xy<0,
所以(x-y)(-2xy)>0,
即(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
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