人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀第1课时学案

4.1　指数

第1课时　根式

【学习目标】

【自主学习】

一．    n次方根

1.a的n次方根的定义

一般地，如果     ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2.a的n次方根的表示

注意：负数没有偶次方根．

二．    n次根式

1.根式：式子叫做根式，这里n叫做      ，a叫做被开方数．

2.根式的性质

(1)＝   (n∈N*，且n>1)；  (2)( )n＝    (n∈N*，且n>1)；

(3)＝a(n为大于1的奇数)； (4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．

思考：若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？

【小试牛刀】

1.思辨解析 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　)

(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．(　　)

(3)当n∈N*时，()n＝－2.(　　)

(4) ＝π－4.(　　)

2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)

A.　　　B．　　　C.　   D．

【经典例题】

题型一  根式的概念

点拨：n(n>1)次方根的个数及符号的确定

(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．

(2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：

①当n为偶数时，为非负实数；

②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．

例1 下列说法正确的个数是(　　)

①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．

A．1               B．2        C．3 D．4

【跟踪训练】1 已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：

①；②；③；④，其中无意义的有(　　)

A．1个　　　　    B．2个　　   C．3个　    D．0个

题型二 利用根式的性质化简求值

点拨：正确区分与()n

1.()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围；

2.中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．

例2 化简下列各式：

(1)＋()5；(2)＋()6；(3).

【跟踪训练】2 计算下列各式的值：

(1) ；(2) ；(3) ＋；(4) .

题型三　有条件根式的化简

点拨：

1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.

2.有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

例3  设－3＜x＜3，求－的值．

【跟踪训练】3 若＝3a－1，求a的取值范围．

【当堂达标】

1.以下说法正确的是(　　)

A.正数的n次方根是正数       B.负数的n次方根是负数

C.0的n次方根是0(n∈N*)      D.a的n次方根是

2.下列各式正确的是(　　)

A.＝－3     B.＝a        C.＝2     D.＝2

3.81的4次方根是(　　)

A．2            B．±2         C．3 D．±3

4.已知＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．

5.已知＋＝－a－b，求＋的值．

6.已知－1<x<2，求－的值．

【课堂小结】

1.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．n为奇数时，n次方根只有一个；n为偶数时，正数的n次方根有两个，负数没有偶次方根.

2.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝

【参考答案】

【自主学习】

一．xn＝a   根指数   二.  0   a   a   思考：有2个，表示为±.

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)√　(3)×　(4) ×

2.C 解析：当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．

【经典例题】

例1 B 解析：①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.

【跟踪训练】1 A 解析：①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．故选A.

例2  解：(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.

(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.

(3)原式＝|x＋2|＝

【跟踪训练】2 解：(1) ＝－4.

(2) ＝|3－π|＝π－3.

(3) ＋＝(1＋)＋(－1)＝2.

(4) ＝|2x＋y|＝

例3 解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.

∵－3＜x＜3，

∴当－3＜x＜1时，

原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；

当1≤x＜3时，

原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，

∴原式＝

【跟踪训练】3 解：∵＝＝|3a－1|＝3a－1

∴3a－1≥0，即a≥.

故a的取值范围为.

【当堂达标】

1.C 解析：当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误．

2.C解析：由于＝3，＝|a|, ＝－2，故A、B、D错误．

3.D 解析：∵(±3)4＝81，∴81的4次方根为±3.

4.  解析：∵＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－.

5.解：因为＋＝－a－b.

所以＝－a，＝－b，

所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，

所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.

6. 解：原式＝－＝|x－2|－|x＋1|.

因为－1<x<2，

所以x＋1>0，x－2<0，

所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.