高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念精品第1课时导学案

1.1　集合的概念

第1课时　集合的概念

【学习目标】

【自主学习】

一．元素与集合的相关概念

1.元素：一般地，把      统称为元素，常用小写的拉丁字母         表示．

2.集合：一些     组成的总体，简称    ，常用大写拉丁字母         表示．

3.集合相等：指构成两个集合的元素是      的．

4.集合中元素的特性：       、      和      ．

解读：(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．

(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．

(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1 构成的集合是同一个集合．

二．元素与集合的关系

1.属于：如果a是集合A的元素，就说          ，记作     .

2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说           ，记作    .

解读：a∈A与a∉A这两种情况有且只有一种成立．

三．常见的数集及表示符号

解读：

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．(　　)

(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(　　)

(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．(　　)

2、用“∈”或“∉”填空：

____N；－3____Z；____Q；0____N*；____R.

【经典例题】

题型一   集合的概念

点拨：判断一组对象能否组成集合的策略

1.注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合．

2.注意集合中元素的互异性、无序性．

例1下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合．其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【跟踪训练】1 （多选）给出下列说法，其中正确的有（　　）

A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；

B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；

C．正偶数的全体可以构成一个集合；

D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．

题型二  元素与集合的关系

点拨：判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

例2 (1) 给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0∉N，④∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.

其中正确命题的个数为(　　)

A．4　　    B．3　　　    C．2　　 　  D．1

(2) 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

【跟踪训练】2用符号“∈”或“∉”填空．

若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，

(－1,1)______A.

题型三  集合中元素的特性

点拨：根据集合中元素的特性求值的三个步骤

例3 已知集合A包含2和两个元素，集合B包含4和x两个元素，且，则实数__________．

【跟踪训练】3 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　)

A．2      B．3      C．0或3   D．0,2,3均可

【当堂达标】

1．下列说法正确的是(　　)

A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合

B．由1,2,3和，1，组成的集合不相等

C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素

2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)

A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合

B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合

C．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集

3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　)

A．2         B．2或4     C．4 D．0

4．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)

A．1         B．2         C．3 D．4

5.下列关系中，正确的是（       ）

A． B． C． D．

6.已知集合A包含3和－1两个元素，集合B包含和－1两个元素，且，则实数______．

【参考答案】

【自主学习】

一．1.研究对象  a，b，c…  2.元素  集  A，B，C… 3.一样  4.确定性   互异性 无序性

二．1. a属于集合A  a∈A   2.a不属于集合A  a∉A

三．N  N*或N＋ Z  Q  R

【小试牛刀】

1.(1)×　 (2)√　(3)×

解析：(1)因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．

(2)根据集合相等的定义知，两个集合相等．

(3)因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1,1,1组成的集合有2个元素－1,1.

2. ∉　∈　∉　∉　∈ 解析：因为不是自然数，所以∉N；－3是整数，所以－3∈Z；因为不是有理数，所以∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为是实数，所以∈R.

【经典例题】

例1 B 解析： “周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.{1，2，3}与{1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误.故选：B

【跟踪训练】1 AC 解析：中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D错误.故选：AC.

例2(1)  C 解析：R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．

(2) 0,1,2  解析： 当x＝0时，＝2；当x＝1时，＝3；当x＝2时，＝6；

当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.

【跟踪训练】2  ∈　∈　∉ 解析：第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A.

例3  2 解析：因为A=B，则，解得．故答案为：2.

【跟踪训练】3 B 解析：由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

【当堂达标】

1. C 解析： A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．

2.C解析：由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．

3.B解析：若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B．

4.B解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．

5.B 解析：对于A：0是实数，是集合R的一个元素，所以，故选项A不正确；

对于B：Z是整数集，是无理数，所以，故选项B正确；

对于C：N是自然数集，Z是整数集，所以，故选项C不正确；

对于D：Q是有理数集，是无理数，所以，故选项D不正确；

故选：B.

6. 3或-1 解析：由题意，或m=-1. 故答案为：3或-1.