人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优秀第1课时导学案

3.2.2 奇偶性

第1课时  奇偶性的概念

【学习目标】

【自主学习】

函数的奇偶性

解读：函数的单调性是针对函数定义域或定义域上一个区间而言，是局部概念，函数的奇偶性是针对定义域内任意x而言，是整体概念．

思考1：从奇偶函数的定义来考虑，奇(偶)函数的定义域有什么特点？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？

思考2：若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)

(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)

(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(　　)

(4)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数. (　　)

2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

【经典例题】

题型一　函数奇偶性的判断

1.函数奇偶性判断的方法：

(1)定义法：                                  (2)图象法：

2.若函数f(x)，g(x)具有共同的定义域，那么由函数f(x)，g(x)的奇偶性可以得到其加、减、乘、除的奇偶性，其规律是：

偶±偶＝偶、奇±奇＝奇、偶×偶＝偶、偶×奇＝奇、奇×奇＝偶，相除时类似于相乘的情况．

例1-1判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x；　　  (2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝；    (4)f(x)＝

例1-2 设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)

A．f(x)f(－x)是奇函数        B．f(x)| f(－x)|是奇函数

C．f(x)－f(－x)是偶函数      D．f(x)＋f(－x)是偶函数

【跟踪训练】1 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x2(x2＋2);  (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

(3)f(x)＝；  (4)f(x)＝

题型二　奇、偶函数的图象问题

点拨：利用奇、偶函数的图象求解问题

1.依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.

2.求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.

例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.

(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；

(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.

【跟踪训练】2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．

题型三　函数奇偶性的应用

角度1：利用函数的奇偶性求值

点拨：利用函数奇偶性的定义式f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)进行转化求值，或者构造方程组求值．

例3 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)

A.26        B.18       C.10         D.－26

【跟踪训练】3 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)

A．－3    B．－1    C．1    D．3

角度2：利用奇偶性求参数

点拨：

1.定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.

2.解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数即可求解.

例4 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

【跟踪训练】4　函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_____，b＝______。

【当堂达标】

1.函数f(x)＝|x|＋1是(　　)

A．奇函数   B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数

2.f(x)＝x3＋的图象关于(　　)

A．原点对称      B．y轴对称    C．y＝x对称   D．y＝－x对称

3.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是奇函数   B．|f(x)|g(x)是偶函数

C．f(x)|g(x)|是偶函数   D．|f(x)g(x)|是偶函数

4.已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　)

A．4           B．3          C．2 D．1

5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝    .

6.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；

(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；

(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．

【课堂小结】

1.函数的奇偶性

(1)定义域特点：关于原点对称；

(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；

(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.

2.判断函数奇偶性的方法

(1)定义法；(2)图象法．

【参考答案】

【自主学习】

f(－x)＝f(x)    y轴     f(－x)＝－f(x)   原点

思考1：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．

思考2： ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0.

【小试牛刀】

1.（1）×　(2)×　 (3)×   (4)×

2.B解析：选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．

【经典例题】

例1-1　解：　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．

又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．

(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．

又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．

f(－x)＝即f(－x)＝于是有f(－x)＝－f(x)．

例1-2  D 解析：当x∈R时，－x∈R，设g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，

所以f(x)＋f(－x)是偶函数．

【跟踪训练】1解：(1)∵x∈R，∴－x∈R.

又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．

例2 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.

(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).

【跟踪训练】2解：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．

由图象可知f(1)<f(3)．

方法二　由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，

故f(1)<f(3)．

例3  D 解析　法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.

令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，

∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，

∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.

法二　由已知条件，得

①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.

【跟踪训练】3 C 解析：因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，

又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.

例4 －1 解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.

【跟踪训练】3  　0　解析：由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0.

【当堂达标】

1.B解析：∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

2.A 解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－(x3＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称．

3.ABD 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．

再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得A为奇函数，B为偶函数，C为奇函数；D为偶函数．]

4.C 解析：因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，

所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，

即4－2m＝0，所以m＝2.

5. －2 解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，

∴f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.

6. 解：(1)由题意作出函数图象如图：

(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．

(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．