高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算精品第1课时学案

1.3　集合的基本运算

第1课时 并集与交集

【学习目标】

【自主学习】

一．并集

1.文字语言：由所有属于集合A   属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的    .

2.符号语言：A∪B＝             .

3.图形语言：如图所示.

二． 交集

1.文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的      .

2.符号语言：A∩B＝               .

3.图形语言：如图所示.

解读：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．

(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．

(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．

三．性质

1.A∩A＝___，A∪A＝___，A∩∅＝     ，A∪∅＝    .

2.若A⊆B，则A∩B＝__  __，A∪B＝__  _.

3.A∩B   A，A∩B   B，A   A∪B，A∩B   A∪B.

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)并集定义中的“或”就是“和”．(　　)

(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．(　　)

(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．(　　)

(4)若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　　)

2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)

A．{－1,0,1}　　  B．{－1,0,1,2}     C．{－1,0,2}     D．{0,1}

【经典例题】

题型一　并集及其运算

点拨：集合的并集运算

1.有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；

2.用不等式表示的，常借助数轴求并集.由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集.

例1 设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B.

【跟踪训练】1 (1)设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.

(2)已知M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}．则M∪N＝________.

题型二　交集及其运算

点拨：集合的交集运算

1.有限集求交集就是找到两个集合中共有的元素；

2.用不等式表示的，常借助数轴求交集.从数轴上看，同时被两道横线覆盖的数属于交集.

例2　立德中学开运动会，设

A= {x| x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，

B＝{x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学} ，求A∩B

【跟踪训练】2 (1)集合A＝{x|x≥2或－2<x≤0}，B＝{x|0<x≤2或x≥5}，则A∩B＝____________.

(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{2}        B．{3}       C．{－3,2}      D．{－2,3}

题型三　利用集合并集、交集性质求参数

点拨：

1.在利用交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等.

2.当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉.

3.理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.

例3 已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∩B＝B，求实数m的取值范围．

【跟踪训练】3 

已知集合A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|2－k≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．

【当堂达标】

1.已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝(　　)

A．{x|x≥－5}　   　B．{x|x≤2}

C．{x|－3<x≤2}     D．{x|－5≤x≤2}

2.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|2x－y＝－4}，则A∩B等于(　　)

A．{x＝－1，y＝2}  B．(－1,2)

C．{－1,2}         D．{(－1,2)}

3.已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则(　　)

A．A∩B＝  B．A∩B＝∅

C．A∪B＝  D．A∪B＝R

4.若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的个数为(　　)

A．1           B．2         C．3       D．4

5.已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．

6.已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．

(1)若A∪B＝B，求a的取值范围．

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

【课堂小结】

1.在解决有关集合运算的题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于将其转化为文字语言.

2.集合的运算可以用Venn图帮助思考，实数集合的交集、并集运算可借助数轴求解，体现了数形结合思想的应用.

3.对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要注意分类讨论思想的应用.

【参考答案】

【自主学习】

一．或  并集 {x|x∈A，或x∈B}

二．交集  {x|x∈A，且x∈B}

三．1. A    A   ∅   A  2.A   B    3. ⊆， ⊆， ⊆，⊆

【小试牛刀】

1．(1)×　(2)×　(3)√  (4)√

2．B 解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．

【经典例题】

例1解： A∪B = {4,5,6,8} ∪{3,5,7,8} ＝{3,4,5,6,7,8}.

【跟踪训练】1解：(1)如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}.

(2) {x|x＜－5或x＞－3} 解析：将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，

可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．

例2 解： A∩B ＝{x| x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}，

【跟踪训练】2  解：(1)易知A∩B＝{x|x≥5或x＝2}.

(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.

例3 解：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3,2}，

∵A∩B＝B，

∴B⊆A，且B中元素至多一个，

∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅.

(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝；

(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－；

(3)当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.

∴m＝或m＝－或m＝0.

【跟踪训练】3  解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.

若B＝∅，则2－k>2k－1，得k<1；

若B≠∅，则解得1≤k≤.

综上所述，k≤.

【当堂达标】

1.A 解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．

2.D 解析：由得所以A∩B＝{(－1,2)}，故选D.

3.A 解析：由3－2x＞0，得x＜，所以B＝，

又因为A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝，即A∪B＝{x|x＜2}．故选A.

4.C 解析：∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，

∴A∪B＝A，即B⊆A.∴x2＝3，或x2＝x.

当x2＝3时，得x＝±，

若x＝，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，符合题意；

若x＝－，则A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，符合题意．

当x2＝x时，得x＝0，或x＝1，

若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；

若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去．

综上知，x＝±，或x＝0.故满足条件的实数x有3个．

故选C

4．{a|a≤1}  解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：

所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.

6. 解：(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，

观察数轴可知，所以≤a≤2.

(2)A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．

观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a＞0，

所以0＜a≤或a≥4.