突破2.1 等式的性质与不等式的性质（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破2.1 等式的性质与不等式的性质一、考情分析二、考点梳理重难点1 一元一次函数与一元一次不等式1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。（1）它的图象是一条斜率为k，过点（0，b）的直线；（2）k>0是增函数；k<0是减函数。2、一元一次不等式ax>b的解的情况：（1）当a>0时，；（2）当a<0时，；（3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。3、一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象所经过的象限有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．一次函数y=kx+b (k≠0)中，|k|越大，直线y=kx+b越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx+b越靠近x轴，即直线与x轴的夹角越小重难点2 分式方程、分式不等式1、分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．2、分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．3、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程简单分式不等式的解法重难点3 绝对值不等式1、a>0时，①；②或x>a2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得或；．三、题型突破重难点题型突破1 等式与不等式的性质例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，故A对；∵，∴，，∴，故B错；∵，∴，即，∴，故C对；∵，∴，∴，即，故D对；故选B．（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C.（3）．（2021·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（ ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.【详解】解：对A，，，故A正确；对B，，，即，，故B错误；对C，，，即，即，故C正确，对D，，，即，即，故D正确.故选：B.（4）．（2021·全国高一课前预习）设， ，给出下列四个结论：①；②；③；④．正确的结论有_________．（写出所有正确的序号）【答案】①②④【分析】根据不等式的性质证明判断．【详解】，则，又，所以，①正确；， ，则，②正确；由②，，即，③错误；，，又，所以，④正确．故答案为：①②④【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的性质是解题关键．【变式训练1-1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A【变式训练1-2】．（2021·丽水外国语实验学校高一月考）(多选题)已知，则下列不等式不正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据不等式的性质和特殊值逐项判断即可.【详解】对于A选项，取，可得，A错；对于B选项，取，可得，B错；对于C选项，取可知，C错；对于D选项，由题意可知，则，因为，所以，，D对.故选：ABC.【变式训练1-3】．（2021·全国高一单元测试）（多选题）若，下列不等式中不成立的是（ ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据不等式的性质判断各选项．【详解】A选项，，∴，不成立，B选项，，不成立，C选项，∵，∴，成立，D选项，由，∴，即，不成立，故选：ABD.【变式训练1-4】．（2020·全国高三专题练习（理））用不等号填空：（1）若，则________；（2）若，，则________；（3）若，，则________；（4）已知，则________.【答案】 【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）根据不等式的性质判断即可；（3）根据不等式的性质判断即可；（4）利用作差法比较大小即可；【详解】解：(1)∵ 当时，有，当时，有=，故应填“”；(2)∵，，∴，所以，故应填“”；(3)∵，∴，又∵，∴，故应填“”；(4)∵，而，∴，，则，即，∴，故应填“”.故答案为：；；；重难点题型突破2二次不等式例2．（1）（2021·靖西市第二中学高一期中）不等式的解集为_______________【答案】空集【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【详解】不等式可化为：，无解，所以不等式的解集为空集，故答案为：空集（2）．（2020·贵州省高二学业考试）不等式的解集是_____________；【答案】【分析】分解因式从而得到解集.【详解】不等式，即，所以或，即解集为：.故答案为：.（3）.不等式的解集是（ ）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：，如图函数开口向上，与轴的交点为：，，可得不等式的解集为：或.故选：B【变式训练2-1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，不等式，可化为，解得，即不等式的解集为.故选：A.【变式训练2-2】．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】由得：，，，即不等式的解集为，故选：C 重难点题型突破3 分式不等式例3．(1)（2021·全国高一课时练习）的解集为______.【答案】或【分析】将所求不等式变形为，解此不等式即可得解.【详解】由可得，等价于，解得或.故原不等式的解集为或.故答案为：或.(2)．（2020·江苏省震泽中学高一月考）若，则下列结论不正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可知，由不等式的性质可知ABC正确，由不能判断的正负，所以D不正确.【详解】解：因为，所以有，所以，A正确；又，所以，B正确；，C正确；，但正负未知，若，则不成立，故D错误.故选：D【变式训练4-1】．（2018·全国高一专题练习（理））已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(∁UB)＝(　　)A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}【答案】D【解析】依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.【变式训练4-2】．（2020·桂林市临桂区五通中学高二期中）不等式的解集是___________．【答案】.【分析】由，则或，解不等式组即可得解.【详解】解：由，则或，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：.重难点题型突破4 绝对值不等式例5．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式的解集是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，解得，故选：B.【变式训练5-1】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得|x-3|+|x-4|＜a有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a＞1.故选：A重难点题型突破5 不等式的综合性质例6．（1）（2021·全国高一课时练习）设实数、满足，，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】由已知得，，，故，故选：B.（2）．（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据不等式的性质计算可得；【详解】解：，，，又，所以，即，，，正确．故选：．【变式训练6-1】．（2021·全国）已知，，求的取值范围___________.【答案】【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】设，所以，解得，因为，，则，因此，.故答案为：.【变式训练6-2】．（2020·上海市行知中学高一月考）若，则的取值范围为________；【答案】【分析】由题知，，进而根据求解即可.【详解】解：因为，所以，， 所以，所以，所以故答案为：