人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优质第1课时学案设计

2.2 基本不等式

第1课时 基本不等式的证明

【学习目标】

【自主学习】

一．重要不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R),当且仅当      时，等号成立.

二．基本不等式

(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的           ，把叫做正数a，b的            ．

(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当      时，等号成立．

解读：基本不等式≥(a>0，b>0)

(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．

(2)“当且仅当”的含义：

①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝；

②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b.

思考1：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？

思考2： a＋≥2(a≠0)是否恒成立？

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)

(2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.(　　)

(3)若a，b∈R，则ab≤.(　　)

(4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(    )

2.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)．

①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.

【经典例题】

题型一 对基本不等式的理解

例1 给出下面三个推导过程：

①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；

②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；

③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.

其中正确的推导过程为(　　)

A．①②  B．②③  C．②  D．①③

【跟踪训练】1 不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)

A．x＝3   B．x＝－3

C．x＝5   D．x＝－5

题型二　利用基本不等式比较大小

点拨：基本不等式的几种常见变形及结论

(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；(2)ab≤(a，b∈R)；(3)ab≤2，(a，b∈R)；

(4)＋≥2(ab＞0)；(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；(6)≤≤≤ (a，b都是正实数)．

例2 如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)

A．P＞Q＞M   B．M＞P＞Q

C．Q＞M＞P   D．M＞Q＞P

【跟踪训练】2 已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　)

A.   B.

C.    D.

题型三　用基本不等式证明不等式

点拨：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

例3 已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.

【跟踪训练】3已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.

【当堂达标】

1．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A.       B．a2＋b2        C．2ab D．a

3.(多选)下列不等式不一定成立的是(　　)

A．x＋≥2　 B．≥

C.   D．2－3x－≥2

4.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：

①a2＋1＞a；  ②≥4；   ③(a＋b)≥4；  ④a2＋9＞6a.

其中恒成立的是________(填序号).

5．  已知a>b>c，则与的大小关系是           

5.若不等式≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号．

6.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

【课堂小结】

1.记牢2个不等式

(1)a2＋b2≥2ab；(2)≥(a，b都是正数)．

2.应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面，当＝时，也有a＝b.

【参考答案】

【自主学习】

一．    a＝b

二.算术平均数  几何平均数 a＝b

思考1：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数。

思考2：只有a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2

【小试牛刀】

1. (1)×　(2)×　(3)√  (4)√

2.③ 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．

【经典例题】

例1  D 解析 ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；

②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，

所以＋a≥2 ＝4是错误的；

③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．

【跟踪训练】1 C解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．

例2 B解析：显然＞，又因为＜(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.

【跟踪训练】2  C 解析：解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A.

解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．

例3 解：∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.

∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，

即a＋b＋c≥＋＋.

由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．

∴a＋b＋c>＋＋.

例3 解：∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.

∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，

即a＋b＋c≥＋＋.

由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．

∴a＋b＋c>＋＋.

【跟踪训练】3 证明：证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

故＝＝5＋2≥5＋4＝9.

所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．

证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.

所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，

ab≤2＝，于是≥4，≥8，

因此≥1＋8＝9

(当且仅当a＝b＝时取等号)．

【当堂达标】

1. B解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，

∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<，∴a2＋b2最大．

2. AD　解析：A项，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误；

B项，＝≥，∴B正确；

C项，，其中x2>0，满足基本不等式的要求，∴C正确；

D项，      变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误．

3.①②③ 解析：由于a2＋1－a＝＋＞0，故①恒成立；

由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；

由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，那么a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；

当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.

综上，恒成立的是①②③.

4. ≤ 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.

∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．

5.0 解析：　＝＝＋≥

2＝2，其中当且仅当＝⇔x2＋1＝1⇔x2＝0⇔x＝0时成立．

6.证明：因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数．

所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，

三式相加得2≥2(a＋b＋c)，

即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．