人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案，共8页。
1．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系．
2．能正确对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，綈p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，綈p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
1．对于一个全称量词命题要否定它，需要考虑哪几个方面？
[答案] 两个方面：一是改量词，将全称量词改为存在量词，二是否定结论
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．( )
(2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )
(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
题型一 全称量词命题的否定
【典例1】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
[解] (1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m0
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.
[答案] D
2．已知命题p：∀x>0，x2≥2，则它的否定为( )
A．∀x>0，x20
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m>0
[解析] 存在量词命题的否定为全称量词命题，否定结论，故选D.
[答案] D
2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
[解析] 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.
[答案] C
3．已知命题p：∀x>0，x＋eq \f(1,x)≥2，则它的否定为( )
A．∀x>0，x＋eq \f(1,x)2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
[解析] 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
[答案] C
12．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n