数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案设计

这是一份数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案设计，共10页。

1．掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法．
2．能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件．
3．会对某些命题的充要条件进行证明．
充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(2)“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
1．通常我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，即“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的什么条件，你还能写出“四边形是平行四边形”的其他充要条件吗？
[答案] 充要条件 两组对边分别相等的四边形、对角线互相平分的四边形等
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“⇔”具有传递性．( )
(3)若p eq \(⇒,/)q和q eq \(⇒,/)p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
题型一 充要条件的判断
【典例1】 在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.
[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
[解] 作出“⇒”图，如右图所示，
可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.
(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.
判断p是q的充分必要条件的2种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．
(2)集合角度：当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B.
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件．
②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p，q互为充要条件．
④若A⃘B且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．
[针对训练]
1．指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(2)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0；
(3)p：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α>2，,β>2，))q：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4.))
[解] (1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，
所以A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(2)由a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p是q的充要条件．
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α>2，,β>2，))根据不等式的性质可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4.))
即p⇒q，而由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4))不能推出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α>2，,β>2.))
如：α＝1，β＝5满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β>4，,αβ>4，))但不满足α>2.
所以p是q的充分不必要条件.
题型二 充要条件的证明
【典例2】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
[思路导引] 从充分性、必要性两方面证明．
[证明] ①充分性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．
[针对训练]
2．已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
[证明] 因为a2－b2＝1，
所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.
即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．
另一方面，若a4－b4－2b2＝1，
即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0，
(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.
又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件.
题型三 探求充要条件
【典例3】 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[思路导引] 至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论．
[解] ①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－eq \f(1,2)，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(2,a)，x1x2＝eq \f(1,a).
(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,\f(1,a)<0))⇒a<0；
(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0))⇒0综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
探求充要条件的2种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
[针对训练]
3．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
[解] 方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1x2－1>0，,x1－1＋x2－1>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,x1x2－x1＋x2＋1>0，,x1＋x2－2>0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,k2＋2k－1＋1>0，,－2k－1－2>0))⇔k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
课堂归纳小结
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p
证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
1．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为x<－1⇒|x|>1，而|x|>1⇒x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
[答案] A
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
[答案] B
3．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：A?B，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
[解析] 由A∪B＝B，得A?B或A＝B；反之，由A?B，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．
[答案] D
4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
[解析] 由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.
[答案] a<0
5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
[证明] 证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)②必要性：由eq \f(1,x)因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以eq \f(1,x)0.
证法二：eq \f(1,x)由条件x>y⇔y－x<0，故由eq \f(y－x,xy)<0⇔xy>0.
所以eq \f(1,x)0，
即eq \f(1,x)0.
课后作业(七)
复习巩固
一、选择题
1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．
[答案] B
2．设x∈R，则“x>eq \f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－1，所以由x>eq \f(1,2)可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>eq \f(1,2)，所以“x>eq \f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件．
[答案] A
3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
[解析] 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－eq \f(m,2×1)＝1，即m＝－2，故选A.
[答案] A
4．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．
[答案] B
5．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．
[答案] B
二、填空题
6．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
[答案] 充要
7．如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．
[解析] 由题意可知：1≤x≤2⇒x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值为2.
[答案] 2
8．下列命题中是真命题的是________(填序号)．
①x>2且y>3是x＋y>5的充要条件；
②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；
③b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的充要条件；
④三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．
[解析] ①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以x>1是|x|>0的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R(a>0时解集为∅)，而由ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇒b2－4ac<0，所以b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．
[答案] ②④
三、解答题
9．已知p：0[解] 设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，
则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠0，,Δ＝4－4×3×m>0，⇔00，))
因此，p是q的充要条件．
10．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
[解] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋kx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0，))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x2＋xx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0，))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x3＝0，,x2＋x＋k＝0，))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,k＝－2.))
所以两方程有一公共实根的充要条件为k＝－2.
综合运用
11．“a>b”是“a>|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若a>b，不如令a＝1，b＝－2，则a>|b|不成立，所以充分性不成立，若a>|b|，则有a>b，所以“a>b”是“a>|b|”的必要不充分条件．
[答案] B
12．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
[解析] 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 eq \(⇒,/)丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲 eq \(⇒,/)丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
[答案] A
13．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
[解析] |x－1|<2⇒－1[答案] 必要不充分
14．设p：eq \f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2),a＋1≥1))，解得0≤a≤eq \f(1,2).
[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤a≤\f(1,2)))))
15．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
[证明] ①必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则xeq \\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，xeq \\al(2,0)＋2cx0－b2＝0，
两式相减，可得x0＝eq \f(b2,c－a)，
将此式代入xeq \\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0整理得b2＋c2＝a2，
故A＝90°.
②充分性：∵A＝90°，∴b2＋c2＝a2，∴b2＝a2－c2.
将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，
将b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.