高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质导学案

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质导学案，共11页。

1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
2．掌握不等式的有关性质．
3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
2．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
3．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb.即a>b⇔b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
1．若a>b，且ab>0，则eq \f(1,a)与eq \f(1,b)的大小关系如何？
[答案] 因为ab>0，所以a与b同号．
而eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)，又a>b，所以b－a<0.
所以eq \f(1,a)－eq \f(1,b)<0，即eq \f(1,a)2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＝b是eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)成立的充要条件．( )
(2)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
题型一用不等式(组)表示不等关系
【典例1】商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
[思路导引] 根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．
[解] 若提价后商品的售价为x元，则销售量减少eq \f(x－10,1)×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
[针对训练]
1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．
[答案] eq \f(1,2)(a2＋b2)>ab
2．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m的免票，身高1.2～1.5 m的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？
[解] 设身高为h m，
题型二数(式)的大小比较
【典例2】比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
[思路导引] 我们知道，a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a[解] (1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，
∴x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
[针对训练]
3．已知x，y均为正数，设m＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)，n＝eq \f(4,x＋y)，比较m和n的大小．
[解] ∵m－n＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(x＋y,xy)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq \f(x－y2,xyx＋y).
又x，y均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．
4．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)且z＝1时取等号.
题型三利用不等式的性质判断或证明不等式
【典例3】 (1)对于实数a，b，c，给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若aab>b2；
③若a>b，则a2>b2；
④若aeq \f(b,a).
其中正确命题的序号是________．
(2)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac[思路导引] (1)直接利用不等式的基本性质判断；(2)首先由性质4得到－bc>－ac，再由性质5证明．
[解析] (1)对于①∵c2≥0，
∴只有c≠0时才成立，①不正确；
对于②，aab；ab2，
∴②正确；
对于③，若0>a>b，则a2－2，
但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；
对于④，∵a－b>0，
∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2.
又∵ab>0，∴eq \f(1,ab)>0，∴a2·eq \f(1,ab)>b2·eq \f(1,ab)，∴eq \f(a,b)>eq \f(b,a)，④正确．
(2)证明：∵a>b，c>0，∴ac>bc，
∴－ac<－bc.∵f∴f－ac[答案] (1)②④ (2)见解析
(1)利用不等式判断正误的2种方法
①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项
①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[针对训练]
5．若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
[证明] ∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0，
∴eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，∴eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，∴eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
6．若a>b>0，ceq \f(e,b－d2).
[证明] ∵c－d>0，
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，即eq \f(1,a－c2)又e<0，∴eq \f(e,a－c2)>eq \f(e,b－d2).
题型四利用不等式的性质求取值范围
【典例4】已知1[思路导引] 欲求a－b的范围，应先求－b的范围，再利用不等式的性质求解．
[解] ∵1∴8<2a＋3b<32.
∵2又∵1∴1＋(－8)即－7故8<2a＋3b<32，－7[变式] (1)在本例条件下，求eq \f(a,b)的取值范围．
(2)若本例改为：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．
[解] (1)∵2∴eq \f(1,8)(2)设x＝a＋b，y＝a－b，
则a＝eq \f(x＋y,2)，b＝eq \f(x－y,2)，
∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)y.
又eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)x≤eq \f(5,2)，－eq \f(5,2)≤eq \f(5,2)y≤eq \f(15,2)，
∴－2≤eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)y≤10.
即－2≤3a－2b≤10.
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
[针对训练]
7．已知－eq \f(1,2)≤α<β≤eq \f(1,2)，求eq \f(α＋β,2)、eq \f(α－β,3)的取值范围．
[解] ∵－eq \f(1,2)≤α<β≤eq \f(1,2)，
∴－eq \f(1,4)≤eq \f(α,2)两式相加得－eq \f(1,2)∵－eq \f(1,6)≤eq \f(α,3)两式相加得－eq \f(1,3)≤eq \f(α－β,3)又∵α<β，∴eq \f(α－β,3)<0，∴－eq \f(1,3)≤eq \f(α－β,3)<0.
课堂归纳小结
1．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)．
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
2．在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.
1．下列说法正确的为( )
A．若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则eq \r(x)＝eq \r(y) D．若x[解析] ∵eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，且x≠0，y≠0，两边同乘以xy，得x＝y.
[答案] A
2．设a，b为非零实数，若aA．a2C．eq \f(1,ab2)[解析] 用a＝－1，b＝1，试之，易排除A，D.再取a＝1，b＝2，易排除B.
[答案] C
3．下列命题中正确的个数是( )
①若a>b，b≠0，则eq \f(a,b)>1；
②若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；
③若a>b，且ac>bd，则c>d.
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] ①若a＝2，b＝－1，则不符合；②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满足a>b且a＋c>b＋d，但不满足c>d，故错；③当a＝－2，b＝－3，取c＝－1，d＝2，则不成立．
[答案] A
4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系为________．
[解析] ∵x≠2或y≠－1，∴M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2>0，∴M>N.
[答案] M>N
5．若－1≤a≤3,1≤b≤2，则a－b的范围为________．
[解析] ∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，
∴－3≤a－b≤2.
[答案] －3≤a－b≤2
课后作业(十)
复习巩固
一、选择题
1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
[解析] x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
[答案] B
2．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad>bc B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a－c>b－d
[解析] 由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.
[答案] C
3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
[解析] a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.
[答案] C
4．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，ceq \f(b,d)
D．若a2>b2，则－a<－b
[解析] 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
[答案] B
5．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
[解析] 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，
∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
[答案] A
二、填空题
6．武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________．
[答案] 2v1＋100≤v2，v1>3v3
7．若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________．
[解析] ∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0，
∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).
[答案] eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2)
8．已知不等式：①a<00；⑥a[解析] 因为eq \f(1,a)[答案] ①②④⑤⑥
三、解答题
9．若a>0，b>0，求证：eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.
[证明] ∵eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)－a－b＝(a－b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)－\f(b,a)))＝eq \f(a－b2a＋b,ab).
∵(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0.
∴eq \f(a－b2a＋b,ab)≥0.∴eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.
10．已知12[解] ∵15∴12－36又eq \f(1,36)综合运用
11．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B．eq \f(1,a)C．a2>b2 D．a3>b3
[解析] A选项中，若c≤0则不成立；B选项中，若a为正数b为负数则不成立；C选项中，若a，b均为负数则不成立，故选D.
[答案] D
12．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
[解析] 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.
[答案] A
13．已知a、b为非零实数，且a①a2b[解析] 当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，
∴a2b>ab2，eq \f(1,a2b)>eq \f(1,ab2)，①错，②对；
当a＝－1，b＝1时，eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)＝－1，故③错．
[答案] ②
14．若x>1，－1[解析] ∵x>1，－1∵－y－(－xy)＝y(x－1)<0，∴－y<－xy，
∵x－(－xy)＝x(1＋y)>0，
∴－xy[答案] y<－y<－xy15．已知：－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求：9a－c的范围．
[解] 令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－c＝x,4a－c＝y))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)y－x,c＝\f(1,3)y－4x)).
∴9a－c＝eq \f(8,3)y－eq \f(5,3)x
∵－4≤x≤－1，∴eq \f(5,3)≤－eq \f(5,3)x≤eq \f(20,3)①
∵－1≤y≤5，∴－eq \f(8,3)≤eq \f(8,3)y≤eq \f(40,3)②
①和②相加，得－1≤eq \f(8,3)y－eq \f(5,3)x≤20
∴－1≤9a－c≤20.
文字表述
身高不
足1.2 m
身高在1.2
～1.5 m间
身高超
过1.5 m
符号表示
h<1.2
1.2≤h≤1.5
h>1.5
票价
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