专题05 整式乘除法的三种考法全攻略-【常考压轴题】

专题05 整式乘除法的三种考法全攻略

类型一、不含某项字母求值

例1．已知计算的结果中不含和的项，求m、n的值．

【答案】m＝1.5，n＝−10．

【详解】解：（5−3x＋mx2−6x3）•（−2x2）−x（−3x3＋nx−1）

＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−nx2＋x

＝12x5＋（3−2m）x4＋6x3＋（−10−n）x2＋x，

由结果中不含x4和x2项，得到3−2m＝0，−10−n＝0，

解得：m＝1.5，n＝−10．

【变式训练1】已知将展开的结果不含和项，（m、n为常数）

（1）求m、n的值；

（2）在（1）的条件下，求的值．（先化简，再求值）

【答案】（1）；（2），-1792

【详解】（1），

，由题意得：，解得：；

（2），

当，时，原式

【变式训练2】已知的展开式中不含和项．

（1）求的值．

（2）先化简，再求值：．

【答案】（1）；（2）；．

【详解】（1）

．

展开式中不含和项，．解得．

（2）

．

当时，原式．

【变式训练3】（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系；

（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；

（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．

【答案】（1）代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；（2）1；（3）k=20，另一个因式为：．

【详解】解：（1）＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s．

故代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；

（2）∵（）（）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，

又∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，

∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，=；

（3）∵二次三项式有一个因式是，

∴==，∴2m-5=3，5m=k，

∴m=4，k=20，另一个因式为：．

【变式训练4】（1）先化简，再求值：已知，求的值．

（2）若中不含，项，求m，n的值．

【答案】（1），22；（2），．

【详解】（1），，，

∴且，解得：，，

．

（2），

∵展开式中不含x、x2项，

∴，，

解得：，．

类型二、与几何的综合问题

例1.如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：

（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．

方法1：______，方法2：________；

（2）从中你发现什么结论呢？_________；

（3）运用你发现的结论，解决下列问题：

①已知，，求的值；

②已知，求的值．

【答案】（1），；（2）；（3）①28；②．

【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，

方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，

故答案为：，；

（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，，

故答案为：；

（3）①，，又，

；

②设，，则，，

，

答：的值为．

【变式训练1】【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．

(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；

(2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）；

(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；

(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式）

【答案】(1)；(2)；(3)10

(4)

【解析】(1)方法一可表示为：

方法二可表示为：

故答案为：

(2)

，

故答案为：

(3)

故答案为：10

(4)方法一可表示为：（a+b）3；

方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．

∴等式为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．

故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．

【变式训练2】阅读理解下列材料：

“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．

同理，图2可以得到一个等式：．

根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

(1)由图3可得等式：___________；

(2)由图4可得等式：____________；

(3)若，，，且，，求的值．

①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．

②根据你画的图形可得等式：______________；

③利用①的结论，求的值．

【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；

(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；

(3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．

【解析】(1)大正方形的面积可表示为=（a+2b）2，

大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2，

所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2，

故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；

(2)大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b），

大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2，

所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2，

故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；

(3)①所画图形如下：

②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；

正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．

故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；

③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，

∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．

【变式训练3】（发现问题）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．

例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

请解答下列问题：

（1）请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）

（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式（直接写出等量关系式即可）

（自主探索）

（3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为（3a＋2b）（2a＋3b）长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝_____

（拓展迁移）

（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______

【答案】（1）（a－b）2＝a2－2ab＋b2；（2）（a＋b）2－4ab＝（a－b）2；

（3）图见解析，19；（4）（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

【详解】（1）阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积

即，故答案为；

（2）阴影部分面积=，大正方形面积=，长方形面积=

大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积，即：；

（3）将面积为的长方形画出后，按比例分割，图如下：

看图即可得：，，所以，，故答案为19；

（4）大正方体体积=各小长方体体积之和，即：

故答案为．

【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系（其中y>0）？

几何建模：

（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割

（2）变形：2y+5=(y+2)+(y+3)

（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：

(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5

归纳提炼：

当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）

【答案】ab＞a+b．见解析

【详解】解：（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割．

（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）

（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n）；阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．

类型三、规律性问题

例1.（1）填空：

             ；

              ；

              ．

（2）猜想：

            ．（其中n为正整数，且）．

（3）利用（2）猜想的结论计算：

①

②

【答案】（1），，；（2）；（3）①；②

【详解】（1）；

；

；

故答案分别为：，，；

（2）由（1）的规律可得：原式，

故答案为：；

（3）①

；

②∵

即

．

【变式训练1】阅读下文，寻找规律：

已知：，观察下列各式：

；

；

；

；

…

(1)填空：

①_________；

②_________．

(2)根据你的猜想，计算：

①_________；

②那么的末尾数字为_________．

【答案】(1)①；②；(2)①；②1

【解析】(1)解：①根据规律可得：；

②原式；

(2)解：①∵，

把x=2，n=2020代入，

得：，

②∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…，

∵，

∴的末尾数字是2，

∴的末尾数字是1.

【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．

这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．

（1）根据上面的规律，（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为　 ；

（2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值；

（3）若（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值．

【答案】（1）6；（2）﹣1；（3）﹣1

【详解】解：（1）第五行即为1、 4、 6、 4 、1对应（a+b）4展开式中各项的系数，

∴（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为6，故答案为6；

（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，．．．．．．

根据展式中的2最大指数是5，首项a =2，末项b=-3,

∴25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5＝[2+（﹣3）]5＝（2﹣3）5＝﹣1；

（3）∵（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，

∴当x＝1时，（1﹣1）2020＝a1×12020+a2×12019+a3×12018+……+a201912+a2020×1+a2021，

即a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021＝0，

当x＝0时，（0﹣1）2020＝a1×02020+a2×02019+a3×02018+……+a2019×02+a2020×0+a2021，即a2021＝1，

∴a1+a2+a3+……+a2019+a2020= a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021- a2021＝0﹣1＝﹣1．

【变式训练3】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：

，

，

．

(1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．（填上所有正确的序号）

A．与；B．与；

C．与；D．与；

E.与

(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．

【答案】(1)CDE；(2)见解析

【解析】(1)解：A、，，，故该选项不符合题意；

B、与不是回文等式，故该选项不符合题意；

C、，，所以，故该选项符合题意；

D、，故该选项符合题意；

E、， ，所以，故该选项符合题意；

所以能构成“回文等式”的是CDE

故答案为：CDE；

(2)解：“回文等式”左边（右边）的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，理由如下：

设回文等式左边的两个两位数为，，其中a，b，c，d为小于10的正整数，

依题意得：，

，解得：，所以．