专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法-八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

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专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法
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1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方）；
2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；
3、.会进行单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算；
4、掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算。
5、会进行单项式除以单项式的计算，会进行多项式除以单项式的计算。
知识精讲

知识点01 幂运算
知识点
1）同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则： am+n =am×an
2）幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
3）积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
【知识拓展1】同底数幂的乘法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列运算中，错误的个数是（    ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【详解】解：（1），故（1）错误；
（2），故（2）错误；
（3），故（3）错误；
（4），故（4）错误，
综上所述，错误的个数为4个，故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
【即学即练】
1．（2022·浙江·宁波市七年级期中）已知，，则的值为 ___．
【答案】140
【分析】逆用同底数幂的乘法，即可作答．
【详解】∵，，∴．故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．本题属于基础题型，同底数幂的乘法运算法则：．
2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5)
【分析】（1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可；
（3）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（4）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（5）先根据同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．
（1）
解：．
（2）
解：
＝
＝0
（3）
解：．
（4）
解：


（5）
解：


【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则和合并同类项法则，是解题的关键．

【知识拓展2】幂的乘方及其逆运算
例2．（2022·湖南·七年级期中）下列选项中正确的有（　　）个．
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据幂的乘方法则逐个算式分析即可．
【详解】解：①，正确；②，正确；③，正确；
④当m是偶数时，，故不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）．
【即学即练】
3．（2022·湖南·株洲七年级期中）已知，，则等于（    ）
A．1 B．72 C． D．
【答案】C
【分析】先根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确求出，是解题的关键．
4．（2022·山东·聊城市七年级阶段练习）计算
(1)已知：＝5，＝3，计算的值．(2)已知：3x+5y＝8，求的值．
【答案】(1)15(2)256
【分析】（1）逆用同底数幂的乘法将变形为，再逆用幂的乘方法则变形为，即可把已知代入计算求解；（2）先将底数8化成，32化成，则原式变形为，再运用幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算得，然后把已知代入计算即可．
（1）解：∵＝5，＝3，
∴====5×3=15；
（2）解：∵3x+5y＝8，
∴=====256．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂乘法法则及其逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法法则是解题的关键．

【知识拓展3】积的乘方及其逆运算
例3．（2022·四川·眉山八年级阶段练习）
【答案】
【分析】先计算积的乘方运算，幂的乘法运算，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：



【点睛】本题考查的是积的乘法运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握“幂的乘方与积的乘方运算法则”是解本题的关键．
【即学即练】
5.（2022·山东淄博·期末）的计算结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：=故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
6.（2022·山西临汾·八年级阶段练习）计算的结果是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题考查积的乘方、有理数的乘方和乘法运算，熟练掌握积的乘方逆运算是解答的关键．

知识点02 整式乘法
知识点
1）单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2）单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3）多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
【知识拓展1】整式乘法基本运算
例1．（2022·安徽·八年级阶段练习）先化简，再求值；其中．
【答案】，．
【分析】利用单项式乘多项式去括号，合并同类项；再代入求值．
【详解】解：

，
当时，原式


．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式－化简求值，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级阶段练习）计算：
(1)； (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式法则即可得；
（2）根据多项式乘以多项式法则即可得．
（1）
解：原式．
（2）
解：原式
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键．
2．（2022·广东·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
（1）
解：原式＝

；
（2）
解：原式＝
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．

【知识拓展2】不含某项问题
例2．（2022·福建·晋江八年级阶段练习）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（   ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解．
【详解】解：
∵结果中不含x的五次项，
∴，解得：．故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键．
【即学即练2】
3．（2022·福建八年级期中）如果的展开式中不含项，则a的值是（    ）
A．5 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先利用整式的乘法展开，然后合并同类项，根据题意得出，求解即可．
【详解】解：

，
∵展开式中不含项，
∴，
解得：a=5，
故选A．
【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某项求参数的问题，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）若展开后不含 x 的一次项，则m的值是（    ）
A． B．1 C．3 D．0
【答案】A
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再令含x的一次项的系数为0，据此求解即可．
【详解】解：，
∵展开后不含 x 的一次项，∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知不含某一项，即该项的系数为0是解题的关键．

【知识拓展3】整式乘法的运用
例3．（2022·上海·七年级专题练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【答案】(1)米；米；米
(2)平方米

【分析】（1）盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形边长的倍，盒子的高＝小正方形边长；
（2）利用纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积．
（1）
解：盒子的长为：
（米）；
盒子的宽为：
（米）；
盒子的高为：a2（米）．
故答案为：米；米；米．
（2）
∵纸片的面积是：（平方米），
小正方形的面积是：（平方米），
∴无盖盒子的外表面积是：（平方米）．
∴这个无盖盒子的外表面积为平方米．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知识．理解纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．
【即学即练3】
5．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）长为a，宽为的长方形，它的面积为____________．（结果为最简）
【答案】2ab＋3ac
【分析】根据长方形面积公式列式计算即可．
【详解】解：长方形面积为：a（2b＋3c）＝2ab＋3ac
故答案为：2ab＋3ac
【点睛】本题考查了单项式乘多项式的实际运用，掌握其运算法则是解本题的关键．

知识点03 整式除法
知识点
1）同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
2）与的应用
零指数幂：=1()； 负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意：；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3）单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
4）多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
【知识拓展1】同底数幂的除法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列4个算式中，计算错误的有（       ）
（1） （2） （3） （4）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则进行逐一计算即可．
【详解】解：∵，∴（1）计算错误，符合题意；
∵，∴（2）计算正确，不符合题意；
∵∴（3）计算正确，不符合题意；
∵，∴（4）计算错误，符合题意，
∴（1）（4）两项错误，计算错误的有2个，故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法及除法法则∶（1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；（2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减，熟记同底数幂的乘法及除法法则是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）已知： ，，求的值．
【答案】
【分析】逆用幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴



【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算公式的逆用，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则，是解题的关键．
2．（2022·江苏·七年级期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．
【答案】（1）200（2）16
【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求出2m+3n的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴=
=
=
=200；
（2）∵=81=，
∴2m+3n=4，
∴==16．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则及其逆用是解答本题的关键．

【知识拓展2】整式的除法
例2．（2022·陕西·七年级期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____．
【答案】
【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴，，，
解之得：，，，∴．故答案为：
【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答．
【即学即练2】
3．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意，这个多项式是
故选D
【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键．
4．（2022·山东淄博·期末）若a＝2，则______．
【答案】7
【分析】先计算多项式除以单项式，得到化简的结果，再把代入进行计算即可．
【详解】
当时，原式故答案为：7．
【点睛】本题考查的是多项式除以单项式，代数式的求值，掌握“多项式除以单项式的运算法则”是解本题的关键．

能力拓展

考法01 （）的应用
注：，可能有三种情况：=1()； =1； =1（n为偶数）
【典例1】（2022·绵阳市·八年级期中）当x=____________时，代数式的值为1.
【答案】1或2或-2020
【解析】试题解析：分3种情况：当x+2020=0，即x=-2020时, 代数式（2x-3）x+2020的值为1;
当2x-3=1，即x=2时，代数式（2x-3）x+2020的值为1；
当2x-3=-1，即x=1时，代数式（2x-3）x+2020的值为1.
变式1.（2022.成都市锦江区初一期中）已知,则x=
【答案】-2；0；1
【详解】情况1: 解得：x=-2； 情况2：解得：x=1；
情况3：解得：x=0；x +2=2（偶数），故符合条件
故答案为：-2；1；0
变式2．（2022·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
【答案】或
【分析】分三种情况讨论，当或当或，分别解方程，再检验可得答案．
【详解】解： ，当时， 当时，，
经检验： 不合题意舍去，
当时，时， 综上：或
【点睛】本题考查的是乘方的意义，乘方符号的确定，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．

考法02 运用幂运算比较大小
【典例2】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较与的大小；(3)比较与的大小．
【答案】(1)>，< (2)<(3)<
【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，”即可比较和的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有，即可比较和的大小；（2）据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有”，即可比较与的大小；（3）利用作商法，即可比较和的大小．
（1）
解：，
∴>，
∵，，122<123，
∴<，
故答案为：，；
（2）
解：∵，，8<9，
∴<．
（3）
解：∵，
∴<．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
变式1．（2021·浙江·嵊州市七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．
【详解】解：∵=962=3124，=3123，=3122，∴a>b>c，故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
变式2．（2022·湖南·郴州七年级阶段练习）在比较和的大小时，我们可以这样来处理：
∵==，==，16＜27，
∴＜，即＜．
请比较以下两组数的大小：
(1)与； (2)与．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接利用已知将各数转化为次数相等的数进而比较得出即可；（2）逆用幂的乘方的运算性质将它们的指数变得相同，然后根据底数较大的其幂也较大（都是正数时），得出结果．
（1） 解：∵，，
（2） 又∵16＜27，∴，即；
（3） 解：∵，，，
（4） 又∵125＜243＜256，∴，即．
【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．







分层提分

题组A 基础过关练
1.（2022·江苏·苏州七年级期末）的结果是（  ）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：．故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解本题的关键在熟练掌握同底数幂的乘法法则．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘时，底数不变，指数相加．
2．（2021·甘肃·兰州七年级阶段练习）下列各式计算正确的是（    ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；故选D．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·辽宁·朝阳七年级期中）光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案．
【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：．故选：B
【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键．
4．（2022·江苏·七年级期中）要使成立，则，的值分别是（    ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据整式的乘法展开，根据对应系数相等得到a，b的关系式，即可求解．
【详解】∵
∴a+3=5，-2b=4 ∴， 故选C．
【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
5．（2022·陕西·西安交大附中浐灞右岸学校七年级阶段练习）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的除法计算即可得出答案．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
6．（2022·浙江绍兴·一模）计算的正确结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据积的乘方运算法则“积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，可得计算结果．
【详解】解：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的运算，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题关键．
7．（2022·广东惠州·八年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】单项式乘以单项式法则：系数与系数相乘，相同字母的指数相加．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．
8．（2022·福建·福州市双安中学八年级阶段练习）若，求_____．
【答案】##0.4
【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解．
【详解】，，
，，．故答案为．
【点睛】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键．
9．（2022·内蒙古七年级阶段练习）若 的展开式中不含和项，则的值为______．
【答案】17
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得、的值．不含二次项、三次项，说明二次项的系数与三次项的系数都为零，由此即可求出答案．
【详解】原式
，
∵展开式中不含和项，∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即合并同类项．最后根据不含哪项，则该项的系数为零，是解题的关键．
10．（2022·四川·仁寿县书院初级中学校八年级阶段练习）若，则________．
【答案】
【分析】先根据同底数幂乘法对等式左边进行计算，再根据相同字母的指数相等列出方程组，解出m、n的值，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
把代入，
可得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、解二元一次方程组、求代数式的值，解本题的关键在熟练掌握各运算的法则．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
11．（2022·吉林·测试·编辑教研五八年级阶段练习）已知，那么的值是_______．
【答案】42
【分析】逆用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：42
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键．
12．（2022·江苏·开明中学七年级期中）计算：＝________．
【答案】2
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算将原式变形为，再根据积的乘方的逆运算将原式变形为，由此求解即可．
【详解】解：




，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同底数乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
13．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将原式根据单项式乘多项式的法则进行化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】

，
将代入到上式中，原式．
【点睛】本题考查的是整式的运算，能够准确化简是解题的关键．
14．（2022·江苏·南通市海门区实验初级中学八年级阶段练习）（1）已知，求x的值.  
（2）已知 ＝2， ＝3求 的值.
【答案】（1）17；（2）24．
【分析】（1）先将转化为；再令 即可求出x的值．
（2）由同底数幂的乘法法则得，再根据幂的乘方法则得，把 代入上式，计算可得答案．
【详解】解：（1），
∴x=17．
（2）



．
【点睛】本题考查了幂运算的问题，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则是解决本题的关键．

题组B 能力提升练
1．（2021·山东淄博·期中）下列计算正确的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据单项式乘以多项式可进行求解．
【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算正确，故符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键．
2．（2021·河南·八年级阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边，
．
右边□，
∴□内上应填写．
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
3．（2022·江苏相城区）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行计算即可
【详解】解：∵，，，
∵∴故选：A
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握法则是解题的关键
4．（2022·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（ ）个B．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由单位互化可得：大化小，用乘法，从而可得：，再利用同底数幂的乘法可得答案．
【详解】解：故选：
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
5．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）在等式中，括号内的代数式应是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据因数、因数、积的关系求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法运算，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减．
6．（2022·浙江杭州·七年级期中）若，则的值是（ ）
A． B．16 C．20 D．24
【答案】C
【分析】根据乘方、幂的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵∴ ∴ ∴ ∴ ∴
∴故选：C．
【点睛】本题考查了乘方、幂的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
7．（2022·安徽·定远七年级阶段练习）已知，，，则的大小关系是（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定．
【详解】解：因为，，，
因为

所以，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
8.（2022.成外初一月考）若，则x的值为
【答案】-2； 1
【详解】情况1: 解得：x=-2； 情况2：解得：x=1；
情况3：解得：x=0；x +3=3（奇数），故不符合条件
故答案为：-2； 1
9．（2022·湖南邵阳·七年级期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 _____．
【答案】
【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可．
【详解】解：∵


即 ，
∴“■”中的一项是2y．
故答案为：2y．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
10．（2022·浙江七年级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），请根据这种新运算填空：
（1）若f（1）＝，则f（2）＝_____；
（2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）•f（2022）＝_____（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）
【答案】         
【分析】（1）将变形为，再根据定义新运算：计算即可求解；
（2）根据（k≠0），以及定义新运算：将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴．
故答案为：（1）；（2）．
【点睛】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
11．（2022·河南金水·）如果那么我们规定．例如；因为所以．
（1）根据上述规定填空：__ ，__ ，__ ；
（2）若．判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；理由见解析．
【分析】（1）根据代入数运算即可；（2）根据题意列出等式求解即可．
【详解】
因为，
，，．
【点睛】此题考查了新定义问题和同底数幂的乘法结合问题，解题的关键是根据题意列出等式．
12．（2022·广东·七年级期中）已知，则m=________．
【答案】4
【分析】等号左边根据同底数幂的乘法计算，然后即可求出m的值．
【详解】解：
=
=，
∴2m+3=11，
∴m=4．
故答案为4
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法计算，解题的关键是求出．
13．（2022·天津市八年级阶段练习）已知，，则的值等于______.
【答案】
【分析】逆用幂的乘方和同底数幂的除法运算，进行计算即可．
【详解】解：；故答案为：．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方和同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
14．（2022·江西·永丰县恩江中学七年级期中）欢欢与乐乐两人共同计算（2x＋a）（3x＋b），欢欢抄成2x（3x＋b），得到的结果为6x2＋4x；乐乐抄成（2x－a）（3x＋b），得到的结果为6x2－5x－6．
(1)求出式子中的a、b的值？
(2)请计算出原题的正确答案．
【答案】(1)a＝3，b＝2
(2)

【分析】（1）由题意得2x（3x＋b）＝6x2＋4x，（2x−a）（3x＋b）＝6x2−5x−6，根据多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则展开后利用对应系数相等，即可求出a、b的值；
（2）把a＝3，b＝2代入（2x＋a）（3x＋b）进行计算，即可得出答案．
(1)
解：由题意得：2x（3x＋b）＝6x2＋4x，（2x−a）（3x＋b）＝6x2−5x−6，
∴6x2＋2bx＝6x2＋4x，6x2−（3a−2b）x−ab＝6x2−5x−6，
∴2b＝4，ab＝6，
∴a＝3，b＝2．
(2)
（2x＋3）（3x＋2）
＝6x2＋4x＋9x＋6
＝6x2＋13x＋6
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式和多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键．
15．（2022·重庆）求下列各式中x的值．
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于x的等式进而得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于x的等式进而得出答案．
【详解】解：（1）∵，∴，∴．
（2）∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出关于x的等式是解题关键．

题组C 培优拔尖练
1．（2022·浙江·温州七年级阶段练习）从前，一位地主把一块长为a米，宽为b米(a＞b＞100) 的长方形土地租给租户张老汉， 第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 10 米，宽减少 10 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积将 （    ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．可能变大也可能变小
【答案】A
【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．
【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为平方米，
∵， ∴，
∴面积变小了， 故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
2．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为(   )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方形的面积求得长方形的另一边的长，进而即可求解．
【详解】解：∵长方形的面积为，若它的一边长为，
∴长方形的另一边的长为：，
∴长方形的周长为：，故选B．
【点睛】本题考查了多项式除法的应用，整式的加减的应用，求得长方形的另一边长是解题的关键．
3．（2022·浙江八年级期末）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论
解决下列问题：设．现给出三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．
【详解】解：∵，∴n=1+m，m=n-1，
∵，∴p=1+n=1+1+m=2+m，
①m+p=n-1+1+n=2n，故正确；②3m+n=3（p-2）+p-1=4p-7，故错误；
③===3，故正确；故选B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．
4．（2022·浙江嘉兴·一模）已知，则代数式的值为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】逆用幂的乘方法则可得，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算．
【详解】解：∵，，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
5．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是_____．

【答案】yang8888
【分析】根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．
【详解】解：根据前面两个等式，
王⊕x13yz4=wang1314，
浩⊕xy15•x2z20=x3y15z20=hao31520，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
（x2y）4•（y2z44）2=x8y4•y4z88=x8y8z88，
∴阳⊕（x2y）4•（y2z44）2=yang8888．
故答案为：yang8888．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键．
6．（2022·浙江湖州·七年级期末）小王和小明分别计算同一道整式乘法题：，小王由于抄错了一个多项式中的符号，得到的结果为，小红由于抄错了第二个多项式中的的系数，得到的结果为，则这道题的正确结果是_________．
【答案】
【分析】利用小王和小明的解法列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值，再将m，n的值代入原式计算即可．
【详解】解：由小王的解法可知=，
即=，
可知=；
由小红的结果可知小红将4抄成2，
故=，
即=，
可知=；
联立得，
解得，
将代入得=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算及解二元一次方程组，正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键．
7．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）若x，y均为实数，，则：（1）＝______x+y；（2）_______．
【答案】     2022     1
【分析】（1）将化成代入数值即可计算；
（2），再由（1）知，得出即可求．
【详解】（1）解：∵
∴
故答案为：2022；
（2）解：∵

∴
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的运算，根据运算法则将式子进行相应的换算是解题的关键．
8．（2022·南靖县城关中学）已知，则m的值是_________________．
【答案】2
【分析】根据同底数幂的乘法法则将原式变形可得，再利用乘法分配律合并计算，得到m值．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，∴m=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则．
9．（2022·湖北·九年级阶段练习）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数i，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数n，我们可以得到，同理可得，，，那么的值为______．
【答案】
【分析】，，，，，，从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可．
【详解】解：由题意得，，，，，，，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
，，，


，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．
10．（2022·湖南·长沙市华益中学八年级阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)________；若，则________；
(2)已知，，，若，求y的值；
(3)若，，令．  ①求的值； ②求t的值．
【答案】(1)4；32
(2)
(3)①；②1

【分析】（1）根据新定义即可得到；
（2）根据新定义得到，根据得到关于的方程，解出即可；
（3）根据新定义得到， ，即可判断．
（1）
解：，
；
，
，
故答案为：4，32；
（2）
解：，，，
，，，
，
，
，
；
（3）
解：，，
，，
①；
② ，，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及新定义的实数运算，掌握同底数幂的乘法以及幂的乘方是解题的关键．
11．（2022·河南·商水八年级阶段练习）阅读下列材料：若，，且，比较m，n的大小．
解：因为，，27>16，所以，所以．
依照上述方法解答下列问题：
(1)若，，则x______y（填写“>”，“<”或“=”）
(2)若，，且满足，，试比较a与b的大小．
【答案】(1)<
(2)a>b
【分析】（1）根据材料的方法以及幂的乘方即可判断；
（2）根据材料的方法以及幂的乘方即可判断．
（1）
解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ；
（2）
解：，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，掌握幂的乘方是解题的关键．
12．（2022·河南南阳·八年级期末）我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是：
（1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．
（2）用竖式进行运算．
（3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求的商式和余式．
解：
答：商式是，余式是（    ）
我挑战：已知能被整除，请直接写出a、b的值．
【答案】我会做：；，
我挑战：
【分析】我会做：根据题意填空即可；
我挑战，根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，最后结果余0，即可求得的值．
【详解】解：我会做：补全如下，

答：商式是，余式是（）
故答案为：；
我挑战：能被整除，则余数为0，根据题意列竖式运算即可，


解得
【点睛】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键．