初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理测试题

1.1 探索勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

培优第一阶——基础过关练

1．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是（　　　）

A．36 B．64 C．100 D．100或28

【答案】C

【解析】

解：直角三角形的两条直角边长分别为6和8，由勾股定理得，第三边平方为62+82＝100，

故选：C．

2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（       ）

A．10 B．13 C．7 D．14

【答案】A

【解析】

解：由题意得，

直角三角形的斜边为：

故选：A．

3．如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（       ）

A．20m B．40m C．30m D．50m

【答案】B

【解析】根据勾股定理得，

AB=

=40(m)，

故选B．

4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（       ）

A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm

【答案】D

【解析】解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，

在△ABC中，由勾股定理可知：=10，

∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，

故E为AB的中点，

∴AE=BE=5，

故选：D．

5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（       ）m的路，却踩伤了花草．

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】根据题意，得：长方形花圃的四个角为

∴花圃内的一条“路”长

∴仅仅少走了

故选：B．

6．在中，斜边，则等于（       ）

A．5 B．25 C．50 D．100

【答案】B

【解析】解：∵中，斜边，

∴．

故选：B．

7．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（       ）．

A．90 B．100 C．110 D．120

【答案】B

【解析】解：∵中，，

∴,

∵=，=，=，

∴+=，

∵，，

∴36+64=100．

故选：B．

8．在中，，

（1）如果a=3，b=4，则c=____；

（2）如果a=6，b=8，则c=____；

（3）如果a=5，b=12，则c=____；

（4）如果a=15，b=20，则c=____

【答案】     5     10     13     25

【解析】

根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到结果．

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

9．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为_________________．

【答案】

【解析】根据题意，利用勾股定理有，

故答案为：．

10．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为______

【答案】30

【解析】解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，

∴另一直角边= =5(cm)，

∴面积=×5×12=30 (cm2)．

故答案为：30．

11．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是__m．

【答案】170

【解析】解：∵正南方向和正东方向成90°，学校与书店距离构成直角三角形的斜边，

∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为＝170m．

故答案为：170．

12．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________

【答案】4

【解析】解：Rt△ABF中，AB=10，AF=8，

由勾股定理得：BF==6，

∴FG=8-6=2，

∴小正方形EFGH的面积=22=4，

故答案为：4．

13．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．

（1）已知，求b；

（2）已知，求c；

（3）已知，求a．

【答案】（1）8；（2）13；（3）20

【解析】

解：（1）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，

；

（2）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，

；

（3）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，

．

14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD的长．

【答案】AD的长为a．

【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，

∴BC=，

∵AD是△ABC的高，

∴S△ABC=×AB×AC=×BC×AD，

即×a×a=×a×AD，

解得AD=a．

故AD的长为a．

15．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．

【答案】能，见解析

【解析】解：能，理由如下：

∵直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，

∴ (a+b)(a+b)＝2×ab+c2，

∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，

∴a2+2ab+b2=2ab+c2，

∴a2+b2=c2．

16．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

【答案】

【解析】

解：设秋千的绳索长为，则，

，

在中，

，即，

解得，

答：绳索的长度是．

培优第二阶——拓展培优练

17．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方

形A、B、C、D的面积之和为__________．

【答案】49

【解析】

如图对所给图形进行标注：

因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，

所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．

因为，，

所以正方形A，B，C，D的面积和．

故答案为：49．

18．根据勾股定理知识迁移，完成下列应用．

(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________；

(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆，若，，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)S1+S2＝S3；(2)阴影部分的面积为6.

【解析】

(1)如图，设直角三角形的三边长分别为，则

故答案为：

(2)设直角三角形为S4，直角三角形三边为直径的半圆的面积，，

∵直角边a=3，斜边c=5

∴，则

∴阴影部分的面积S=S1+S2+S4-S3=S4=6

【点睛】

本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．

19．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．

(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．

(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．

(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．

【答案】(1)见解析;(2)24;(3)

【解析】

(1)

法一：，

另一方面，，

即，则．

法二：

另一方面，

∴

整理得：

(2)

，

设，依题意有

解得

．

故该飞镖状图案的面积是24．

(3)

将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且，

∴，

∴，

∴，

∴．

培优第三阶——中考沙场点兵

20．（2021·山东滨州·中考真题） 在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．2.4

【答案】D

【解析】

解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB==5，

∵，

∴，

解得CD=2.4，

故选：D．

21．（2021·四川凉山·中考真题） 如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB==10，

∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，

∴AE=BE，AD=BD=AB=5，

设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，

在Rt△BCE中

∵BE2=BC2+CE2，

∴x2=62+（8-x）2，解得x=，

∴CE==，

故选：D．

22．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．

【答案】100．

【解析】

解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．

故答案为：100．

23．（2021·湖南常德·中考真题） 如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．

【答案】

【解析】

解：由题意：平分，于,

，，

又为公共边，

，

，

在中，，由勾股定理得：

，

故答案是：．

24．（2021·湖南岳阳·中考真题） 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．

【答案】

【解析】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；

∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，

∴BC=尺，

∴可列方程为：，

故答案为：．