高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系精练

1.2 集合间的基本关系

一、子集与真子集的定义与表示

1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．

2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)

【注意】

（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．

（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．

例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；

同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．

二、空集

1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，

并规定：空集是任何集合的子集．

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：

（1）空集只有一个子集，即它本身；

（2）空集是任何非空集合的真子集．

2、0，{0}，∅，{∅}的关系

三、子集的性质

（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.

（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.

（3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.

（4）如果AB，BC，则AC.

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．

四、子集的个数

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2n个．

（2）A的非空子集的个数有2n－1个．

（3）A的真子集的个数有2n－1个．

（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．

五、韦恩图

在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。

【注意】

（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。

（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。

题型一 判断集合间的包含关系

【例1】已知集合，则下列关系正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．∅

【变式1-1】设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(    )

A．A∈B        B．B∈A        C．A⊆B        D．B⊆A

【变式1-2】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(    )

A．P⊆N⊆M⊆Q      B．Q⊆M⊆N⊆P      C．P⊆M⊆N⊆Q      D．Q⊆N⊆M⊆P

【变式1-3】下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；

⑤a {b，c，a}；正确的有（    ）

A．②④⑤        B．②③④⑤        C．②④        D．①⑤

【变式1-4】设集合，，则（    ）

A．        B．        C．        D．

题型二 确定集合的子集和真子集

【例2】集合的非空真子集的个数为（    ）

A．5        B．6        C．7        D．8

【变式2-1】已知集合，则A的子集共有（    ）

A．3个        B．4个        C．8个        D．16个

【变式2-2】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式2-3】已知集合，则集合A的子集个数为（    ）

A．8        B．16        C．32        D．64

【变式2-4】满足的所有集合共有__________ 个.

【变式2-5】适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是(    )

A．15    B．16    C．31    D．32

【变式2-6】满足的集合M共有（    ）

A．6个        B．7个        C．8个        D．15个

题型三 集合相等及其应用

【例3】下列集合中表示同一集合的是(    )

A.,                        B.,

C.,        D.,

【变式3-1】设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（    ）

A．{5}        B．{1}        C．{0，5}        D．{0，1}

【变式3-2】若，则的值为（    ）

A．        B．3        C．        D．7

【变式3-3】集合，则的值为（    ）

A．0        B．1        C．－1        D．±1

【变式3-4】若，则的值为（    ）

A．0        B．1        C．        D．

题型四 根据集合的包含关系求参数

【例4】已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.

【变式4-1】，，若，则实数a的值构成的集合M=________

【变式4-2】（多选）已知集合，.若，则实数的值可能是(    )

A．         B．1        C．2        D．5

【变式4-3】已知集合A＝{x|-5≤x≤2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．

【变式4-4】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A．       B．       C．       D．