人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后作业题

3.1.1 函数的概念

一、函数的定义及概念概念

1、函数的定义：设A，B是两个非空数集，

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，

在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A

【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。

（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；

（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；

（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；

（4）方向性：A→B

2、函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3、同一个函数

两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。

二、区间及相关概念

1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.

在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

2、实数集R

可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，

“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．

3、特殊区间的表示

三、求函数的定义域的依据

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中

奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.

3、零次幂的底数不能为零，即中.

4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

题型一 函数定义的理解

【例1】下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（    ）

A．角度和它的余弦值              B．正方形的边长和面积

C．正n边形的边数和内角和        D．母亲的身高与子女的身高

【答案】D

【解析】A中的任意一个角总对应唯一的一个余弦值，是函数关系；

B中任意一个正方形的边长总对应唯一的一个面积，是函数关系；

C中任意的正边形边数总对应唯一的顶点角度之和，是函数关系；

D中母亲的身高与子女的身高也不是一一对应的关系，故而不是函数关系。

【变式1-1】已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（  ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】若集合，则，但，故选：C.

【变式1-2】下列图形中，不可作为函数y＝f(x)图象的是(    )

【答案】C

【解析】选项C中，x＝0时，有2个y值与之对应，不满足函数概念，故选C．

【变式1-3】若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(    )

A．0个       B．1个       C．2个          D．3个

【答案】 B

【解析】A中函数的定义域不是[－2，2]，

C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2]，故选B.

【变式1-4】下列对应中：

（1），其中，；

（2），其中，，；

（3），其中y为不大于x的最大整数，，；

（4），其中，，.

其中，是函数的是（    ）

A．（1）（2）        B．（1）（3）        C．（2）（3）        D．（3）（4）

【答案】B

【解析】（1），其中，；

满足函数的定义，（1）正确；

（2），其中，，，

不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，

例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；

（3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确；

（4），其中，，，

当时，对应的，（4）不正确．

题型二 求函数的定义域

【例2】已知函数与x的值对应如下表，

那么函数的定义域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由题意知：函数的定义域为.故选：A.

【变式2-1】函数的定义域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】要使函数有意义，

则有，解得且，

所以其定义域为．故选：C.

【变式2-2】函数的定义域是，则函数的定义域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】的定义域是，

得，故或，

所以函数的定义域为.故选：C.

【变式2-3】已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】∵函数的定义域为，

∴，则，

即的定义域为，

由，得，

∴的定义域是，故选：A

【变式2-4】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题意得：，解得，

由解得，

故函数的定义域是.故选：D

题型三 同一个函数的判断

【例3】下面各组函数中是同一函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】C

【解析】A．函数的定义域为，，

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，

B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数

C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数

D．由得得，

由得或，

两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．

【变式3-1】下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A．，        B．

C．              D．

【答案】B

【解析】对于A：定义域为，，故A错误；

对于B：与定义域相同都为，且函数解析式相同，

故是同一函数，故B正确；

对于C：定义域为，定义域为，定义域不相同，

故不是同一函数，故C错误；

对于D：定义域为，定义域为，定义域不相同，

故不是同一函数，故D错误；故选：B

【变式3-2】下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】函数的定义域为R.

A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；

B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；

C：的定义域为R，但是，

故与函数不是同一函数.故C错误；

D：的定义域为R，且，

故与函数是同一函数.故D正确.

【变式3-3】下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】的定义域为；

对于A，定义域为，

与定义域不同，不是同一函数，A错误；

对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；

对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；

对于D，，

与解析式不同，不是同一函数，D错误.

题型四 求函数值

【例4】已知函数，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】函数，所以.故选：B

【变式4-1】已知函数，则的值是（    ）．

A．        B．0        C．1        D．20

【答案】B

【解析】，

则故选：B

【变式4-2】已知函数，则等于（    ）

A．        B．        C．        D．0

【答案】D

【解析】由题意，函数，

令，解得，

令，可得.故选：D.

【变式4-3】已知定义在上的函数满足，则（    ）

A．        B．       C．        D．

【答案】B

【解析】∵，

∴当时，，①，

当时，，②，

，得，解得．故选：B．

【变式4-4】已知，若，则（    ）

A．3        B．-3        C．-2        D．-1

【答案】D

【解析】，

.故选：D

【变式4-5】，则（    ）

A．        B．2        C．        D．3

【答案】D

【解析】，故选：D

【变式4-6】已知，，求：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）-23；-1；  （2）-20；-51；  （3）8x2-46x+40；4x2-6x-55

【解析】（1）=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1；

（2）=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；

=g(-23)=2×(-23)-5=-51；

（3）=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；

=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.

题型五 求函数的值域

【例5】函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是（    ）

A．[2，11)        B．[3，11)        C．[1，11）        D．[2，11]

【答案】A

【解析】，

，且函数的对称轴是直线，

∴函数的值域是.故选：A.

【变式5-1】函数值域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】因为，所以，故选：D

【变式5-2】函数的值域是（    ）

A．        B．       C．        D．

【答案】C

【解析】，

从而可知函数的值域为.故选：C

【变式5-3】函数的值域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】函数的定义域是，

令，则， ，

所以，

因为，所以，

所以原函数的值域为．故选：D.