4.4 对数函数-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

对数函数

1 对数函数

(1)对数函数的概念

函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是.

解释

函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量.

【例】判断下列函数是否为对数函数:

(1)  (2)   (3)    (4)

解 (1)不是，对数式后加了；(2)不是，真数不是；(3)不是，系数不为；(4)是.

(2)图像与性质

可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习.

【例1】画出函数和的图象，说下他们的函数性质.

解

：定义域是，值域是，在上递增，非奇非偶函数;

：定义域是，值域是，在上递减，非奇非偶函数.

与关于轴对称.

【例2】已知图中曲线分别是函数，，，的图象，则的大小关系是(　　)

A．     B．   

C．      D．

解 由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用结合图象求解．

3 对数型函数模型

形如，且；，且)的函数称为对数型函数．

4 反函数

指数函数且与对数函数互为反函数.

它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反.

比如 与互为反函数.

【题型1】对数函数的概念

【典题1】 已知对数函数的图象经过点，试求的值．

解析  设且，

对数函数的图象经过点，．．

, ．

.

点拨  待定系数法求函数解析式.

【巩固练习】

1.已知，则        .

答案

解析 令，则，所以，即．所以．

2.函数的定义域是       .

答案  或

解析 由,解得或，故答案是或.

【题型2】对数函数的图象

【典题1】 若函数的图象如图，其中为常数．则函数的大致图象是(　　)

． ． ．   ．

解析 由函数的图象为减函数可知，

的图象由向左平移可知，

故函数的大致图象是，故选.

点拨 函数图象的平移变换：左加右减，上加下减.

【典题2】已知函数，下列命题中所有正确的序号是　  　．

(1)函数的定义域和值域均为；

(2)函数在单调递减，在单调递增；

(3)函数的图象关于轴对称；

(4)函数为偶函数；

(5)若，则或．

解析 函数，故有，，

故定义域为，故(1)不正确．

由函数在单调递减，在单调递增，可得

函数在单调递减，在单调递增，故(2)正确．

由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故(3)不正确．

由于函数，其图象关于轴对称，故是偶函数，故(4)正确．

由，则有，故，

或，

或，故(5)正确，

故答案为(2)(4)(5)．

点拨

函数图象的对称变换

① 函数函数；

② 函数函数；

函数图象的翻折变换

① 函数函数；

② 函数函数.

【巩固练习】

1.已知，函数与函数的图象可能是(　　)

A． B． C． D．

答案 

解析 ，则

从而，

函数与函数的单调性是在定义域内同增同减

结合选项可知选.

2.函数的图象大致是(　　)

．  ． ．   ．

答案 

解析 先画，然后将的图象向左平移1个单位得，

再保留图象在轴的右边的图象，

轴左边的图象与之对称即得到函数的大致图象．

故选．

3.函数的大致图象是(　　)

．   ． ． ．

答案 

解析 函数，

当时，的图象是函数的图象向左平移个单位得到的；

当时，的图象与函数的图象关于直线对称，

函数的大致图象是．

【题型3】对数函数的应用

角度1 比较指数式的大小

【典题1】 已知，则(　　)

解析 ，，，

，．

故选：．

点拨 比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有

① 把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；

② 若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与，比较大小；

③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.

角度2 解不等式

【典题1】 设函数则满足的的取值范围是(    )

A． B． C． D．

解析 由或，

满足的的取值范围是，故选．

点拨 利用对数函数的单调性求解不等式，同时要注意函数的定义域.

角度3  值域

【典题1】 已知，，求的最大值及相应的．

解析 ，，

且定义域为．

令．

在区间上是增函数，．

从而要求在区间上的最大值，

只需求在区间上的最大值即可．

在上是增函数，

当，即时，．

综上可知，当时，的最大值为．

【巩固练习】

1.比较下列各组中两个值的大小．

(1)，；(2)，；

答案 (1)  (2)

解析 (1)因为函数在上是增函数，

所以．所以．

(2)因为，，所以．

2.解下列不等式；

答案

解析 由已知，得，解得．

所以原不等式的解集是．

3.若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是     .

答案  

解析 当时，，

所以要使方程在区间上有解，只需即可，

解得或，所以实数的取值范围是．

4.求下列函数的值域：

(1) ；   (2) ．

答案  (1)   (2)

解析 (1)，．

函数的值域为．

(2)设，则．，．

又在上为减函数，．

函数的值域为．

【题型4】综合解答题

【典题1】 已知函数

(1)当时，求该函数的值域；

(2)若对于恒成立，求的取值范围．

解析 (1)

令时，，

此时，，

，

所以函数的值域为；

(2) 对于恒成立，

即对恒成立，对恒成立，

易知在上单调递增，，．

点拨

1.注意到与的关系，采取换元法求函数值域；

2.恒成立问题利用分离参数法把问题转化为最值问题求参数范围.

【巩固练习】

1.已知函数，．

(1)求函数的定义域；

(2)当时，总有成立，求的取值范围．

答案 (1)  (2)

解析 (1)由题意可知：，

且，即，

所以函数的定义域是；

(2)由题意可知，

设，则有 ；

当时有：，即，

则有，则，

故而，；

；

又由题意可得：，

.

2.已知函数，实数在其定义域内，且，．

求证：(1)；(2)．

解析 (1)证明：由，得，

即，

，①  或．②

由①得，与矛盾，舍去．

由②得，即．③

．．．

由③得，．

(2)证明：当时，在上为增函数．

由(1)知，且，，

．

，．

．

同理，，

．．．