4.3 对数-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

对数

1对数的概念

概念

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作

(底数，真数，对数)

解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样.

两个重要对数

常用对数以为底的对数，记为；

自然对数以无理数为底的对数的对数，记为．

对数式与指数式的互化

对数式 指数式

如 ；.

结论

① 负数和零没有对数   

②

特别地，，，

解释 ， 中，如没意义；

由对数式与指数式的互化得， .

2 对数的运算性质

如果，，，有

①       ②

③        ④

(每条等式均可证明)

比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系

特别注意：，.

【例1】证明.

【例2】计算

(1) ；(2) ；(3) 已知，，求．

3 换底公式

(1)公式

(2)公式推导

设，则，

，，.

(3)推论

①    ②  ③

证明 ① ；

② ；

③ .

【例】求的值.

【题型1】对数式与指数式的互换

【典题1】 求下列各式中的值：

(1) ；    (2) ．

【巩固练习】

1.完成下表指数式与对数式的转换．

2.求下列各式中的值：

(1) ；    (2) ．

【题型2】对数的化简、求值问题

【典题1】化简求值

(1) ；

(2) ；

(3) ．

【巩固练习】

1.已知函数，则       .

2.若，则　　(用表示)

3.=　  　．

4.计算：　 　．

【题型3】条件求值问题

【典题1】 已知，求的值．

【典题2】 已知，，则　　．

【巩固练习】

1.设都是正数，且，那么(　　)

．   ．     ．      ．

2.已知，求          (用表示)．

3.若实数满足：且，则　　．