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人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制评课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制评课ppt课件，共49页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，逆时针，顺时针，非负半轴，第几象限角，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.任意角(1)角的分类
(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.(3)应用：可以定义任意的旋转角.
2.象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的_________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是___________.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角(1)定义：所有与角α终边相同的角，连同角α在内.(2)表示：集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.(3)本质：表示成角α与整数个周角的和.
【思考】反过来，若角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，表示成角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过1小时，时针转过30°.( )(2)终边与始边重合的角是零角.( )(3)第二象限的角是钝角.( )提示：(1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过-30°.(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).(3)×，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角.
2.与45°角终边相同的角是( )A.-45° B.225° C.395° D.-315°【解析】选D.与45°角终边相同的角可以表示为45°+k·360°，k∈Z，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.
3.(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α=_______，它是第_______象限角. 【解析】因为600°=360°+240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°<360°，故α=240°，它是第三象限角.答案：240° 三
类型一 任意角的概念及应用(数学抽象)【题组训练】 1.(2020·杭州高一检测)下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90°的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是第三或第四象限的角，其中错误的是( )A.③④⑤ B.①③④ C.①③④⑤ D.②③④⑤
2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.
【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等；②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确；③小于90°的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误.其中错误的是①③④⑤.
2.选C.因为-90°<-75°<0°，所以-75°是第四象限角，正确；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角，正确；因为360°+90°<475°<360°+180°，所以475°是第二象限角，错误；因为-360°<-310°<-270°，所以-310°是第一象限角，正确.所以这四个命题中有3个是正确的.3.分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了-120°.答案：-120°
【解题策略】根据角的概念解题的关键(1)准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限.(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角.
【补偿训练】已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A.A=B=C B.A⊆CC.A∩C=BD.B∪C ⊆C【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.
类型二 终边相同的角的表示及应用(直观想象)【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
【解题策略】(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略.
【跟踪训练】 1.(2020·济南高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是( )A.-390° B.-330°C.330°D.570°【解析】选B.与角30°终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°，k∈Z}，取k=-1，可得α=-330°，所以与角30°终边相同的角是-330°.
2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°，k∈Z}={α|α=2k·180°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=n·180°，n∈Z}.
【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.
【拓展训练】 写出与α=-1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
【解析】与α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1 910°，k∈Z}.因为-720°≤β<360°，即-720°≤k·360°-1 910°<360°(k∈Z)，所以3 ≤k<6 (k∈Z)，故取k=4，5，6.k=4时，β=4×360°-1 910°=-470°；k=5时，β=5×360°-1 910°=-110°；k=6时，β=6×360°-1 910°=250°.
类型三 象限角及其应用(直观想象) 角度1 用不等式组表示角的集合 【典例】如图所示. (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA，OB表示的角.(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.
【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.
【变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
【解析】设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°+30°≤α
【解析】(1)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°，所以2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
(2)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以45°+k·180°< <90°+k·180°(k∈Z).①当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°< <90°+n·360°(n∈Z)，即 是第一象限角；②当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°< <270°+n·360°(n∈Z)，即 是第三象限角.故 是第一或第三象限角.
【解题策略】关于角nα或 象限的确定(1)由α的范围，表示出nα， 的范围，由n的取值确定象限.(2)特别地，求 所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.
【题组训练】1.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在( )A.第四象限 B.第一、二象限C.第一象限D.第二、四象限【解析】选D.令k=0，α=-60°，在第四象限；再令k=1，α=-60°+180°=120°，在第二象限.
2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______. 【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°+45°<α
【补偿训练】已知α为第一象限角，求180°- 是第_______象限角. 【解析】因为α为第一象限角，所以k·360°<α
1.在下列说法中，正确的是( )①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④-2 000°是第二象限角.A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】选D.①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为-60°，所以①不正确.②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确.③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确.④-2 000°=-6×360°+160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确.
2.179°角是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B. 179°是第二象限角.
3.(教材二次开发：练习改编)与-457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°，k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°，k∈Z}【解析】选C.-457°=-2×360°+263°，所以与-457°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°+263°，k∈Z}.
4.若角α=m·360°+60°，β=k·360°+120°(m，k∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称【解析】选D.角α的终边和60°角的终边相同，角β的终边与120°角终边相同，因为180°-120°=60°，所以角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.
5.2 021°角是第_______象限角. 【解析】因为2 021°=5×360°+221°，因为221°角在第三象限，所以2 021°是第三象限角.答案：三
1.任意角(1)角的分类
(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.(3)应用：可以定义任意的旋转角.
2.象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的_________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是___________.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角(1)定义：所有与角α终边相同的角，连同角α在内.(2)表示：集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.(3)本质：表示成角α与整数个周角的和.
【思考】反过来，若角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，表示成角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过1小时，时针转过30°.( )(2)终边与始边重合的角是零角.( )(3)第二象限的角是钝角.( )提示：(1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过-30°.(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).(3)×，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角.
2.与45°角终边相同的角是( )A.-45° B.225° C.395° D.-315°【解析】选D.与45°角终边相同的角可以表示为45°+k·360°，k∈Z，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.
3.(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α=_______，它是第_______象限角. 【解析】因为600°=360°+240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°<360°，故α=240°，它是第三象限角.答案：240° 三
类型一 任意角的概念及应用(数学抽象)【题组训练】 1.(2020·杭州高一检测)下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90°的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是第三或第四象限的角，其中错误的是( )A.③④⑤ B.①③④ C.①③④⑤ D.②③④⑤
2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.
【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等；②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确；③小于90°的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误.其中错误的是①③④⑤.
2.选C.因为-90°<-75°<0°，所以-75°是第四象限角，正确；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角，正确；因为360°+90°<475°<360°+180°，所以475°是第二象限角，错误；因为-360°<-310°<-270°，所以-310°是第一象限角，正确.所以这四个命题中有3个是正确的.3.分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了-120°.答案：-120°
【解题策略】根据角的概念解题的关键(1)准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限.(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角.
【补偿训练】已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A.A=B=C B.A⊆CC.A∩C=BD.B∪C ⊆C【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.
类型二 终边相同的角的表示及应用(直观想象)【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
【解题策略】(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略.
【跟踪训练】 1.(2020·济南高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是( )A.-390° B.-330°C.330°D.570°【解析】选B.与角30°终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°，k∈Z}，取k=-1，可得α=-330°，所以与角30°终边相同的角是-330°.
2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°，k∈Z}={α|α=2k·180°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=n·180°，n∈Z}.
【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.
【拓展训练】 写出与α=-1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
【解析】与α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1 910°，k∈Z}.因为-720°≤β<360°，即-720°≤k·360°-1 910°<360°(k∈Z)，所以3 ≤k<6 (k∈Z)，故取k=4，5，6.k=4时，β=4×360°-1 910°=-470°；k=5时，β=5×360°-1 910°=-110°；k=6时，β=6×360°-1 910°=250°.
类型三 象限角及其应用(直观想象) 角度1 用不等式组表示角的集合 【典例】如图所示. (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA，OB表示的角.(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.
【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.
【变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
【解析】设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°+30°≤α
【解析】(1)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°，所以2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
(2)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以45°+k·180°< <90°+k·180°(k∈Z).①当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°< <90°+n·360°(n∈Z)，即 是第一象限角；②当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°< <270°+n·360°(n∈Z)，即 是第三象限角.故 是第一或第三象限角.
【解题策略】关于角nα或 象限的确定(1)由α的范围，表示出nα， 的范围，由n的取值确定象限.(2)特别地，求 所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.
【题组训练】1.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在( )A.第四象限 B.第一、二象限C.第一象限D.第二、四象限【解析】选D.令k=0，α=-60°，在第四象限；再令k=1，α=-60°+180°=120°，在第二象限.
2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______. 【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°+45°<α
【补偿训练】已知α为第一象限角，求180°- 是第_______象限角. 【解析】因为α为第一象限角，所以k·360°<α
1.在下列说法中，正确的是( )①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④-2 000°是第二象限角.A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】选D.①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为-60°，所以①不正确.②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确.③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确.④-2 000°=-6×360°+160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确.
2.179°角是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B. 179°是第二象限角.
3.(教材二次开发：练习改编)与-457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°，k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°，k∈Z}【解析】选C.-457°=-2×360°+263°，所以与-457°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°+263°，k∈Z}.
4.若角α=m·360°+60°，β=k·360°+120°(m，k∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称【解析】选D.角α的终边和60°角的终边相同，角β的终边与120°角终边相同，因为180°-120°=60°，所以角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.
5.2 021°角是第_______象限角. 【解析】因为2 021°=5×360°+221°，因为221°角在第三象限，所以2 021°是第三象限角.答案：三
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