数学人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念练习

5.2.2  同角三角函数的基本关系

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．若α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)

A. B．－

C. D．－

【答案】D

【解析】因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，

所以sin α＝±.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.

2.下列结论中成立的是 (　　)

A.sin α=且cos α=

B.tan α=2且=

C.tan α=1且cos α=±

D.sin α=1且tan α·cos α=1

【答案】C

【解析】由平方关系知sin2α+cos2α=1,故A错.由tan α=2得=2,故=,因此B错.因为tan α=1,

故α终边在第一或三象限,因此cos α=±正确.当sin α=1时,α=+2kπ(k∈Z),此时tan α无意义,故D错.

3.已知2cos α+sin α=,α是第四象限角,则tan α= (　　)

A.    B.-   C. 3    D.-3

【答案】B

【解析】因为α是第四象限角,所以cos α>0,sin α<0,设x=cos α> 0,y=sin α<0,

则             解方程组得

所以tan α==-.

4.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为 (　　)

A.-  　 B. -   C.　    D.

【答案】B

【解析】sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)·(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α =2sin2α-1=2×-1=-.

5.设A是△ABC的一个内角,且sin A+cos A=,则这个三角形是 (　　)

A.锐角三角形　   B.钝角三角形

C.等边三角形　   D.直角三角形

【答案】B

【解析】将sin A+cos A=两边平方得sin2A+2sin Acos A+cos2A=,又sin2A+cos2A=1,故sin Acos A=-.因为0<A<π,所以sin A>0,则cos A<0,即A是钝角.

6.在△ABC中,若tan A=,则sin A=________,cos A=________. 

【答案】　

【解析】由tan A=>0且角A是△ABC的内角可得0<A<,

又

解得sin A=,cos A=.

7．已知＝－5，那么tan α＝________．

【答案】－

【解析】易知cos α≠0，由＝－5，得＝－5，解得tan α＝－.

8．化简下列各式：

(1)；

(2)tan α(其中α是第二象限角)．

【答案】(1) 1; (2) -1.

【解析】(1)＝＝＝＝1.

(2)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.　

故tan α＝tan α

＝tan α＝·

＝·＝－1.

能力提升

9.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是________. 

【答案】-1.

【解析】由sin α=-2cos α,所以tan α=-2,

则2sin αcos α-cos2α====-1.

10.已知α是第二象限角,则+=________. 

【答案】-1.

【解析】因为α是第二象限角,

所以sin α>0,cos α<0,

所以+=+=-1.

11、已知=2,计算下列各式的值:

(1).(2)sin2α-2sin αcos α+1.

【答案】（1）；（2）.

【解析】由=2,化简,得sin α=3cos α,

所以tan α=3.

(1)原式===.

(2)原式=+1

=+1=+1=.

12.（1）求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·＝＋.

（2）已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.

【答案】见解析

【解析】(1)证明：左边＝sin α＋cos α

＝sin α＋＋cos α＋

＝＋

＝＋＝右边．

即原等式成立．

(2)证明：因为tan2α=2tan2β+1,

所以tan2α+1=2tan2β+2,

所以+1=2,通分可得=,

即cos2β=2cos2α,所以1-sin2β=2(1-sin2α),

即sin2β=2sin2α-1.

素养达成

13.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0,的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦,则实数m的值为________. 

【答案】

【解析】由题意知Δ=4(m+1)2-16m≥0,解得m∈R.

不妨设sin A=x1,cos A=x2,

则x1+x2=(m+1),x1·x2=m,

即sin A+cos A=(m+1),

sin Acos A=m,

所以1+2×m=(m+1)2,解得m=或m=-.

当m=-时,sin Acos A=-<0,不合题意,舍去,故m=.