湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质学案

第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

教材要点

要点一　周期函数

1．周期函数

一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在________常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且__________，则称这个函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．

2．最小正周期

状元随笔　关于最小正周期

(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．

(2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B或y＝A cos (ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝求最小正周期．

要点二　正弦、余弦函数的周期性、奇偶性与对称性

状元随笔　(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0，0)对称，余弦曲线关于y轴对称．

(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)因为sin ＝sin ，所以是函数y＝sin x的周期．(　　)

(2)每一个函数都是周期函数．(　　)

(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(　　)

(4)正(余)弦曲线的对称轴是过对应曲线的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是曲线与x轴的交点．(　　)

2．下列函数中，周期为的是(　　)

A．y＝sin 　　    B．y＝sin 2x

C．y＝cos         D．y＝cos 4x

3．函数f(x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)

A．奇函数   

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数   

D．非奇非偶函数

4．函数f(x)＝sin x cos x是________函数．(填“奇”或“偶”)

题型1　求三角函数的周期

例1　求下列函数的周期

(1)y＝2sin ，x∈R；

(2)y＝1－2cos ，x∈R；

(3)y＝|sin x|，x∈R.

方法归纳

求函数周期的方法

(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．

(2)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，可利用T＝来求．

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．

跟踪训练1　(1)函数f(x)＝|cos 2x|的周期是(　　)

A．           B．π

C．2π          D．4π

(2)y＝sin (3x+)的周期是________．

题型2　三角函数奇偶性的有关问题

角度1　三角函数奇偶性的判断

例2　(1)下列函数中是偶函数的是(　　)

A．y＝sin 2x    B．y＝－sin x

C．y＝sin |x|    D．y＝sin x＋1

(2)判断下列函数的奇偶性

①f(x)＝sin ；

②f(x)＝.

方法归纳

判断函数奇偶性的两个关键点

(1)看函数的定义域是否关于原点对称；

(2)看f(－x)与f(x)的关系．

对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．

跟踪训练2　函数f(x)＝|sin x|＋cos x是(　　)

A．奇函数          B．偶函数

C．非奇非偶函数    D．既是奇函数又是偶函数

角度2　三角函数的对称性

例3　(1)(多选)下列函数中，其图象关于x＝对称的是(　　)

A．y＝sin     B．y＝sin

C．y＝cos     D．y＝cos

 (2)函数y＝sin (2x+)的一个对称中心是(　　)

A．       B．

C．     D．

方法归纳

对于函数y＝sin (ωx＋φ)与y＝cos (ωx＋φ)的图象对称性，应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代入思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋ (k∈Z)，解出的x值即为对称中心的横坐标(纵坐标为0)或对称轴与x轴交点的横坐标．

跟踪训练3　(1)函数f(x)＝cos (-+)是(　　)

A．奇函数          B．偶函数

C．非奇非偶函数    D．既是奇函数又是偶函数

(2)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值可能是(　　)

A．     B．－

C．    D．

题型3　函数的奇偶性与周期性的综合应用

例4　(1)(多选)已知函数f(x)＝sin 是奇函数，则φ的值可以是(　　)

A．0    B．－

C．    D．

 (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．

变式探究　本例(2)中，把条件“偶函数”改为“奇函数”，其它条件不变，结果如何？

方法归纳

(1)已知三角函数的奇偶性求参数范围问题一般利用三角函数的图象特征较简单．

(2)利用三角函数的奇偶性与周期性求函数值一般要把自变量转化到已知表达式的区间上求值．

跟踪训练4　(1)(多选)关于函数y＝f(x)＝cos 2x的图象，下列说法正确的是(　　)

A．y＝f(x)是奇函数

B．y＝f(x)的周期为π

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

D．y＝f(x)的图象关于点(-，0)对称

(2)若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值

易错辨析　判断三角函数的奇偶性时忽略定义域致误

例5　函数f(x)＝是(　　)

A．奇函数          B．偶函数

C．既奇又偶函数    D．非奇非偶函数

解析：由题意知sin x≠1，即f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，

不关于原点对称．

∴f(x)是非奇非偶函数．

易错警示

课堂十分钟

1．(多选)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是(　　)

2．对于函数y＝cos ，下列命题正确的是(　　)

A．周期为2π的偶函数    B．周期为2π的奇函数

C．周期为π的偶函数    D．周期为π的奇函数

3．“φ＝”是“函数y＝sin (x＋φ)为偶函数”的(　　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件

4．已知函数y＝cos (x－φ)，φ∈[0，π]是奇函数，则φ的值为________．

5．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(-，0)时，f(x)＝4x－1，求f的值．

第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

新知初探·课前预习

要点一

1．非零　f(x±T)＝f(x)

2．正数　正数

要点二

2π　奇　偶　

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：对于A，T＝＝4π；对于B，T＝＝π；对于C，T＝＝8π；对于D，T＝＝.

故选D.

答案：D

3．解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.

答案：A

4．解析：∵f(x)＝sin x cos x，且x∈R

∴f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f(x)，

∴f(x)＝sin x cos x是奇函数．

答案：奇

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)(定义法)∵2sin

＝2sin

＝2sin ，

∴自变量x至少要增加到x＋4π，

函数y＝2sin ，x∈R的值才能重复出现，

∴函数y＝2sin ，x∈R的周期是4π.

(公式法)：T＝＝4π.

(2)(定义法)

∵1－2cos

＝1－2cos ＝1－2cos ，

∴自变量x至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos ，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝1－2cos ，x∈R的周期是4.

(公式法)：T＝＝4.

(3)作图如下：

观察图象可知最小正周期为π.

跟踪训练1　解析：(1)作图如下：

观察图象可知函数f(x)＝|cos 2x|的周期是.

故选A.

(2)周期T＝.

答案：(1)A　(2)

例2　解析：(1)A，B是奇函数，D是非奇非偶函数，C中，sin |－x|＝sin |x|，所以是偶函数．

故选C.

(2)①显然x∈R，f(x)＝cos x，

f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

②∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.

∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．

答案：(1)C　　(2)见解析

跟踪训练2　解析：∵函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域是R，

且f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)

＝|－sin x|＋cos x

＝|sin x|＋cos x＝f(x)

∴f(x)是偶函数．

故选B.

答案：B

例3　解析：(1)由题意知，当x＝时，y可取得最值，将x＝逐一代入，验证可得B、C正确．

故选BC.

(2)y＝sin ＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有点符合要求．

故选B.

答案：(1)BC　(2)B

跟踪训练3　解析：(1)∵f(x)＝cos ＝sin ，

且f(－x)＝sin ＝－sin ＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

故选A.

(2)由题意，当x＝时，f(x)＝sin ＝±1，故＋φ＝kπ＋，(k∈Z)得φ＝kπ＋，(k∈Z)．当k＝0时，φ＝.

故选D.

答案：(1)A　(2)D

例4　解析：(1)f(x)＝sin 为奇函数，

则只需＋φ＝kπ，k∈Z，

所以φ＝kπ－，k∈Z，

当k＝0时，φ＝－，满足题意；

当k＝1时，φ＝，满足题意，故选BD.

(2)f＝f＝f＝f＝sin ＝.

答案：(1)BD　(2)见解析

变式探究　解析：f＝f＝f＝－f＝－sin ＝－.

跟踪训练4　解析：(1)∵f(x)＝cos 2x，由余弦函数的图象与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为π，且图象关于直线x＝(k∈Z)对称，关于点(k∈Z)对称．

故选BD.

(2)∵f(x)的周期为，且为奇函数，

∴f＝f＝f＝f.

而f＝f

＝f＝－f＝－1，

∴f＝－1.

答案：(1)BD　(2)－1

[课堂十分钟]

1．解析：对于D，x∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．

故选ABC.

答案：ABC

2．解析：因为函数y＝cos ＝sin 2x，∴T＝＝π，且y＝sin 2x是奇函数，所以y＝cos 是周期为π的奇函数．

故选D.

答案：D

3．解析：φ＝时，y＝sin (x＋φ)＝sin (x＋)＝cos x是偶函数，充分性满足，

但φ＝－时，y＝sin (x＋φ)＝sin (x－)＝－cos x也是偶函数，必要性不满足．

应是充分不必要条件．

故选A.

答案：A

4．解析：∵y＝cos (x－φ)是奇函数，

∴φ＝＋kπ，k∈Z.又∵φ∈[0，π]，∴φ＝.

答案：

5．解析：∵f(x)的周期为1，f＝f＝f.

又∵当x∈时，f(x)＝4x－1，

∴f＝4×－1＝－，

又∵f(x)是奇函数，∴f＝－f，

∴f＝.故f＝.