数学人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质学案

第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

课程标准

(1)了解周期函数、周期、最小正周期的意义．(2)会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期．(3)掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　函数的周期性

1．函数的周期性

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数❶.

____________叫做这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

要点二　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

助 学 批 注

批注❶　函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期内的性质，就可以知道它的整体性质．

批注❷　正弦曲线关于原点(0，0)对称．

批注❸　余弦曲线关于y轴对称．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)周期函数y＝f(x)的周期可能只有一个．(　　)

(2)任何周期函数都有最小正周期．(　　)

(3)因为sin ()＝sin ，所以是函数y＝sin x的一个周期．(　　)

(4)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　)

2．函数f(x)＝sin (x＋)最小正周期为(　　)

A.    B．

C.π    D．2π

3．函数y＝1＋cos x的图象(　　)

A.关于x轴对称    B．关于y轴对称

C.关于原点对称    D．关于直线x＝对称

4．写出一个最小正周期为2π的奇函数f(x)＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　正、余弦函数的周期

例1　求下列函数的周期．

(1)f(x)＝cos (2x＋)；(2)f(x)＝|sin x|.

方法归纳

求三角函数最小正周期的3种常用方法

巩固训练1　(1)函数f(x)＝sin (x－)，x∈R的最小正周期是(　　)

A．    B．π

C．4π    D．

(2)函数y＝|cos x|，x∈R的最小正周期是________．

题型 2　正、余弦函数的周期性

例2　判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin x cos x；

(2)f(x)＝.

方法归纳

判断三角函数奇偶性的2个策略

巩固训练2　已知函数f(x)＝sin (－x＋)，则函数f(x)为(　　)

A．奇函数                  B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数    D．非奇非偶函数

题型 3　三角函数奇偶性与周期性的综合应用

例3　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)

A．y＝cos |2x|       B．y＝|sin 2x|

C．y＝sin (＋2x)    D．y＝cos (－2x)

(2)已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________．

方法归纳

解决奇偶性与周期性的综合问题，关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值的区间内．

巩固训练3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f()等于(　　)

A．－　　　B．      C．－　　　D．

第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1．非零常数T　f(x＋T)＝f(x)　非零常数T

2．最小的正数

要点二

2π　2π　奇函数　偶函数

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：因函数f(x)＝sin (x＋)，则ω＝1，T＝＝2π，所以函数f(x)＝sin (x＋)最小正周期为2π.

答案：D

3．解析：可得y＝1＋cos x是由y＝cos x向上平移1个单位得到，

根据余弦函数的性质可得y＝1＋cos x的图象关于y轴对称．

答案：B

4．解析：因为函数y＝sin x的周期为2π且是奇函数，所以函数f(x)＝sin x.

答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)方法一：定义法

∵f(x)＝cos (2x＋)＝cos (2x＋＋2π)

＝cos ＝f(x＋π)，

即f(x＋π)＝f(x)，

∴函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期T＝π.

方法二：公式法

∵y＝cos (2x＋)，∴ω＝2.

又T＝＝＝π，

∴函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期T＝π.

(2)方法一：定义法

∵f(x)＝|sin x|，

∴f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，

∴f(x)的最小正周期为π.

方法二：图象法

作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．

由图象可知T＝π.

巩固训练1　解析：(1)函数f(x)＝sin (x－)的最小正周期T＝＝4π.

(2)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.

答案：(1)C　(2)π

例2　解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．

∵f(－x)＝sin (－x)cos (－x)

＝－sin x cos x＝－f(x)，

∴f(x)＝sin x cos x为奇函数．

(2)由得cos x＝1，

∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．

当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．

巩固训练2　解析：函数的定义域为R，关于原点对称．

因为f(x)＝sin (－x＋)＝cos x，

所以f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，

所以f(x)是偶函数．

答案：B

例3　解析：(1)y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin (＋2x)＝cos 2x是偶函数，y＝cos (－2x)＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.

(2)∵f(x＋3)＝f(x)，

∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期．

又f(－x)＝－f(x)，

∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.

答案：(1)D　(2)－2

巩固训练3　解析：f()＝f(－π)＝f()

＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.

答案：D