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人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质表格教学设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质表格教学设计，共6页。教案主要包含了问题引入，新课讲解，概念深化，应用举例，归纳小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
《正切函数的性质与图象》教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
问题引入
问题1：前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
问题2：角的正切是如何定义的？在单位圆中该如何来表示？
角的正切：
.
教师在学生回答后，利用课件演示借助单位圆得到正弦函数和余弦函数图象的形成过程，着重强调轴线角的正弦值和余弦值，为后面研究轴线角的正切做铺垫.
学生动脑思考，通过体会角的正弦线和正弦函数之间以及余弦线和余弦函数之间的关系，从而过渡到研究角的正切线和正切函数之间的关系，体会知识的迁移转化.
新课讲解
问题1：能否用已学过的知识研究正切函数性质？
定义域、值域、奇偶性、周期性.
问题2：能否模仿利用正弦线和余弦线得到正弦函数和余弦函数图象的方法，画出锐角对应的正切函数的图象呢？
取，利用单位圆半圆八等分得到的完整图象，然后利用周期性，将图象向左、右进行平移，就可以得到的图象，并把它叫做正切曲线.
学生动脑，回忆前面三角函数线以及诱导公式内容.
教师引导学生小组合作交流讨论图象的生成过程.
学生跟上教师的教学思路，理解正切函数图象生成的步骤.
注意启发性教学，让学生在教师引下自主获得新知，从“数”的角度先得到简单结论.
通过课件演示突破利用单位圆画正切函数图象这一难点，培养学生的观察能力、分析能力.
概念深化
问题：下面请同学们结合学习正弦函数、余弦函数图象的方法，研究正切函数的图象，我们能从中得到正切函数的哪些性质？
1.定义域：.
2.值域：.
3.奇偶性：图象关于原点对称，是奇函数.
4.周期性：最小正周期是.
（补充的最小正周期为）.
5.单调性：在开区间
上是单调递增函数（但是不能说在整个定义域上是增函数）.
6.对称性：对称中心，无对称轴.
7.渐近线：.
正切函数的图象是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
教师引导，学生讨论并回答.
由学生小结，教师鼓励学生充分展示，然后教师重新演示课件，进行总结和补充，加深对知识的印象.
教师要举例为学生解释，扫清学生心中的疑惑.
强调对正切函数的单调性的理解.
正弦函数和余弦函数的图象都有对称轴，而正切函数的图象没有.
教师结合图象让学生了解渐近线的概念，体会它与正弦函数、余弦函数图象的不同.
渐近线的概念是正切函数所特有的，需要教师着重进行介绍.
使学生学会识图，掌握由图象分析性质方法.
通过一系列活动，使学生理解正切函数的性质，突破难点.
应用举例
例 求函数的定义域、周期与单调区间.
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量的取值应满足
，.
即，.
所以，函数的定义域是
.
设，又， 所以
，
即
.
因为都有 ，
所以，函数的周期为2.
由，解得
，.
因此，函数在区间，
上单调递增.
练习1：教材第213页练习第3题.
解：自变量的取值范围应满足
，，
即，.
所以，函数定义域为
.
练习2：教材第213页练习第5题.
解：（1）因为在上单调递增，且，所以.
（2）因为在上单调递增，且，所以
.
教师先引导学生自己尝试解决问题，然后板书规范做题步骤.
学生板演练习题，教师巡视，收集信息，及时评价.
师生归纳运用正切函数的单调性比较大小的步骤：
（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
（2）运用单调性比较大小关系.
教师强调必须将自变量转化在同一个单调区间内，然后才能利用函数的单调性判断大小.
锻炼应用能力、操作能力.
巩固学生对所学知识的应用，锻炼学生的应用能力.
归纳小结
正切函数的性质有哪些？
师生共同梳理知识点.
关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验与收获.
布置作业
1.复习本节的内容.
2.作业：教材第214页习题5.4第9题.
3.选做题
教材第214页综合运用第14题.
学生独立完成.
教师批阅.
通过分层作业使学生巩固所学内容，并为有余力的学生提供进一步学习的机会.
板书设计
5.4.3 正切函数的性质与图象
一、问题引入
二、新课讲解
1.定义域：
2.值域：
3.奇偶性：奇函数
4.周期性：最小正周期是
（补充的最小正周期为）
5.单调性：在开区间
上是单调递增函数
6.对称性：对称中心：，无对称轴
7.渐近线：
三、概念深化
四、应用举例
例 求函数的定义域、周期与单调区间
练习1
练习2
五、归纳小结
六、布置作业
教学研讨
一般来说，对函数性质的研究总是先画图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质做出严格表述.但对正切函数，教材采取了先根据已有的知识研究性质，然后再利用图象发现性质来验证结论，这样的处理方法，旨在给学生提供更多研究数学问题的视角，培养学生从数与形两个角度思考问题，提高数学思维及直观想象素养.
《正切函数的性质与图象》教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
问题引入
问题1：前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
问题2：角的正切是如何定义的？在单位圆中该如何来表示？
角的正切：
.
教师在学生回答后，利用课件演示借助单位圆得到正弦函数和余弦函数图象的形成过程，着重强调轴线角的正弦值和余弦值，为后面研究轴线角的正切做铺垫.
学生动脑思考，通过体会角的正弦线和正弦函数之间以及余弦线和余弦函数之间的关系，从而过渡到研究角的正切线和正切函数之间的关系，体会知识的迁移转化.
新课讲解
问题1：能否用已学过的知识研究正切函数性质？
定义域、值域、奇偶性、周期性.
问题2：能否模仿利用正弦线和余弦线得到正弦函数和余弦函数图象的方法，画出锐角对应的正切函数的图象呢？
取，利用单位圆半圆八等分得到的完整图象，然后利用周期性，将图象向左、右进行平移，就可以得到的图象，并把它叫做正切曲线.
学生动脑，回忆前面三角函数线以及诱导公式内容.
教师引导学生小组合作交流讨论图象的生成过程.
学生跟上教师的教学思路，理解正切函数图象生成的步骤.
注意启发性教学，让学生在教师引下自主获得新知，从“数”的角度先得到简单结论.
通过课件演示突破利用单位圆画正切函数图象这一难点，培养学生的观察能力、分析能力.
概念深化
问题：下面请同学们结合学习正弦函数、余弦函数图象的方法，研究正切函数的图象，我们能从中得到正切函数的哪些性质？
1.定义域：.
2.值域：.
3.奇偶性：图象关于原点对称，是奇函数.
4.周期性：最小正周期是.
（补充的最小正周期为）.
5.单调性：在开区间
上是单调递增函数（但是不能说在整个定义域上是增函数）.
6.对称性：对称中心，无对称轴.
7.渐近线：.
正切函数的图象是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
教师引导，学生讨论并回答.
由学生小结，教师鼓励学生充分展示，然后教师重新演示课件，进行总结和补充，加深对知识的印象.
教师要举例为学生解释，扫清学生心中的疑惑.
强调对正切函数的单调性的理解.
正弦函数和余弦函数的图象都有对称轴，而正切函数的图象没有.
教师结合图象让学生了解渐近线的概念，体会它与正弦函数、余弦函数图象的不同.
渐近线的概念是正切函数所特有的，需要教师着重进行介绍.
使学生学会识图，掌握由图象分析性质方法.
通过一系列活动，使学生理解正切函数的性质，突破难点.
应用举例
例 求函数的定义域、周期与单调区间.
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量的取值应满足
，.
即，.
所以，函数的定义域是
.
设，又， 所以
，
即
.
因为都有 ，
所以，函数的周期为2.
由，解得
，.
因此，函数在区间，
上单调递增.
练习1：教材第213页练习第3题.
解：自变量的取值范围应满足
，，
即，.
所以，函数定义域为
.
练习2：教材第213页练习第5题.
解：（1）因为在上单调递增，且，所以.
（2）因为在上单调递增，且，所以
.
教师先引导学生自己尝试解决问题，然后板书规范做题步骤.
学生板演练习题，教师巡视，收集信息，及时评价.
师生归纳运用正切函数的单调性比较大小的步骤：
（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
（2）运用单调性比较大小关系.
教师强调必须将自变量转化在同一个单调区间内，然后才能利用函数的单调性判断大小.
锻炼应用能力、操作能力.
巩固学生对所学知识的应用，锻炼学生的应用能力.
归纳小结
正切函数的性质有哪些？
师生共同梳理知识点.
关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验与收获.
布置作业
1.复习本节的内容.
2.作业：教材第214页习题5.4第9题.
3.选做题
教材第214页综合运用第14题.
学生独立完成.
教师批阅.
通过分层作业使学生巩固所学内容，并为有余力的学生提供进一步学习的机会.
板书设计
5.4.3 正切函数的性质与图象
一、问题引入
二、新课讲解
1.定义域：
2.值域：
3.奇偶性：奇函数
4.周期性：最小正周期是
（补充的最小正周期为）
5.单调性：在开区间
上是单调递增函数
6.对称性：对称中心：，无对称轴
7.渐近线：
三、概念深化
四、应用举例
例 求函数的定义域、周期与单调区间
练习1
练习2
五、归纳小结
六、布置作业
教学研讨
一般来说，对函数性质的研究总是先画图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质做出严格表述.但对正切函数，教材采取了先根据已有的知识研究性质，然后再利用图象发现性质来验证结论，这样的处理方法，旨在给学生提供更多研究数学问题的视角，培养学生从数与形两个角度思考问题，提高数学思维及直观想象素养.
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