高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质学案

第五章  三角函数

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．

2.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．

3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．

重点： y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．

难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．

1．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得当x取定义域内的________值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，_________叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

2．两种特殊的周期函数

(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.

(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.

2.正、余弦函数的奇偶性

1．对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是____函数，正弦曲线关于______对称．

2．对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是____函数，余弦曲线关于________对称．

3.正、余弦函数的单调性与最值

提出问题

   类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？

问题探究

   根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．

1.周期性

      一般地，对于函数 ,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．

    周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都是它的周期．

    如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）．

    根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．

典例解析

例2．求下列三角函数的周期：

(1) y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；（3）x∈R;

2.奇偶性 

    观察正弦曲线和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 ． 这个事实 ， 也可由诱导公式=；=得到 ． 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 ．

知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ?

做一做

1．(1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为 (　　)

A．奇函数          B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数           D．非奇非偶函数

(2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性．

3. 单调性

    由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 ） 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 ．

观察图 5.4-8， 可以看到 ：当 由 增大到 时 ， 曲线逐渐上升 ， 的值由-1增大到 1； 当 由 增大到时 ， 曲线逐渐下降 ， 的值由 1减小到 -1．

的值的变化情况如表 5.4.2所示 ：

    就是说，在区间上单调递增， 上单调递减，有正弦函数的周期性可得；

   正弦函数在每一个闭区间 （  k∈Z ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到1 ;在每一个闭区间 （  k∈Z ） 上都单调递减 ,其值从 1减小到-1．

     类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3

  由此可得，,在区间                        上单调递增 ，

其值从-1 增大到1 ；上单调递增，               

余弦函数在每一个闭区间                         ,上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1；

在每一个闭区间                     　 , 上都单调递减 ， 其值从 1减小到 -1．

４.最大值与最小值

   从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 ＝            时,取得最大值 １ ， 当且仅当 ＝　      　时,取得最小值 －１ ；

余弦函数当且仅当 ＝      　时,取得最大值 １ ，

 当且仅当 ＝        　时,取得最小值 －１．

例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ．

（ １ ） ， ∈R ；

（ ２ ） ， ∈R．

例4. 不通过求值，指出下列各式的大小：

(1) ;

 (2)  cos; cos

例5.  求函数, ∈［ －２π ，２π］ 的单调递增区间 ．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°为正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　)

(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　)

(3)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　)

2.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)

A.　　　　B．π        C．2π         D．4π

3.函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)

A.       B．[－π，0]        C.    D.

4．比较下列各组数的大小：

(1)cos 150°与cos 170°；(2)sin 与sin.

1. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

2. 求函数的单调区间：

（1）. 直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间

参考答案：

一、    知识梳理

1最小的正数; 2π; 2π   2奇;原点;偶;y轴

3奇；偶；增函数；减函数；增函数；减函数；2kπ＋(k∈Z)；2kπ－(k∈Z)；2kπ＋π ；2kπ

二、    学习过程

例2．分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=, x∈R；

【解】(1)，有3sin(x＋π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.

(2)令，由，得，且的周期为2π.即

因为cos (z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos 2x，所以cos2(x＋π)＝cos 2x，

由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.

令,由得Z且的周期为即周期为2π.

即，,于是，

所以

由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.

回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

做一做：【答案】　A

【解析】　(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，

∴函数为奇函数．

 (2)∵f(x)＝sin＝－cos x，∴f(－x)＝－cos＝－cos x，

∴函数f(x)＝sin为偶函数.

例3. 解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 ．

（ １ ） 使函数 ， ∈R取得最大值的 狓 的集合 ，

就是使函数 ， ∈R ，

取得最大值的 的集合｛ ｜ ＝2kπ ， k ∈Z ｝；

使函数， ∈R ， 取得最小值的 狓 的集合 ，

就是使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合

｛ ｜   ＝ （ 2k +1） π ， k ∈Z ｝ ．

函数， ∈R 的最大值是 １＋１＝２ ； 最小值是 －１＋１＝０．

(2)解 ： 令 z ＝2， 使函数） ，  z∈R 取得最大值的 z 的集合 ，

就是使 ，z∈R 取得最小值的 z 的集合｛ z｜ ＝- +2kπ ， k ∈Z ｝

由 z ＝2＝ - +2kπ ，得＝ - +kπ ． 所以 ， 使函数 ， ∈R

取得最大值的 的集合是｛ ｜ ＝ - +kπ, k ∈Z ｝ ．

同理 ， 使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合是

｛ ｜ ＝  +kπ, k ∈Z ｝ ．

函数 ， ∈R的最大值是 ３ ， 最小值是 －３．

例4. 分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 ． 为此 ， 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 ．

解 ：（ １ ） 因为-

，

所以

(2)  解：cos=cos=cos；coscos=cos

因为，

所以coscos；cos

例5.  分析 ： 令= 当自变量 的值增大时 ， 的值也随之增大 ， 因此若函数 在某个区间上单调递增 ， 则在相应的区间上也一定单调递增 ．

解 ： 令 = ， ∈［-２π ，２π］ ， 则 ∈

因为 ， ∈ 的单调递增区间是∈ ，

 且由 ，得 ．

所以 ， 函数, ， ∈［-２π ，２π］ 的单调递增区间是

三、达标检测

1．【解析】　(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．

(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．

(3)×.因为定义域不关于原点对称．

【答案】　(1)×　(2)√　(3)×

2.【解析】　因为sin＝sin＝sin，即f(x＋4π)＝f(x)，

所以函数f(x)的最小正周期为4π.

【答案】　D

3.【解析】　令x＋∈，k∈Z，得x∈，k∈Z，

k＝0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而⊆.故选D.

【答案】　D

4．【解】　(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cos x在区间[90°，180°]

上是减函数，所以cos 150°>cos 170°.

(2)sin＝sin＝sin ＝sin＝sin .因为0<<<，

函数y＝sin x在区间上是增函数，

所以sin <sin ，即sin <sin.