高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时导学案，共9页。学案主要包含了知识导学，新知拓展等内容，欢迎下载使用。

(教师独具内容)
课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝csx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性．
教学难点：周期函数、最小正周期的意义.
【知识导学】
知识点一 函数的周期性
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个eq \(□,\s\up3(01))非零常数T，使得当x取定义域内的eq \(□,\s\up3(02))每一个值时，都有eq \(□,\s\up3(03))f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做eq \(□,\s\up3(04))周期函数，eq \(□,\s\up3(05))非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)eq \(□,\s\up3(06))如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(3)记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是eq \(□,\s\up3(07))周期函数，eq \(□,\s\up3(08))2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为eq \(□,\s\up3(09))2π.
知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数y＝sinx(x∈R)是eq \(□,\s\up3(01))奇函数，图象关于eq \(□,\s\up3(02))原点对称；
余弦函数y＝csx(x∈R)是eq \(□,\s\up3(09))偶函数，图象关于eq \(□,\s\up3(04))y轴对称．
【新知拓展】
(1)周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式“f(x＋T )＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(T,2)))))＝f(2x)，则eq \f(T,2)是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．
(3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．
(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．
(5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)，所以eq \f(π,3)是正弦函数y＝sinx的一个周期．( )
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝3sin2x是奇函数．( )
(4)函数y＝－cseq \f(π,3)x是偶函数．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．做一做
(1)函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))是( )
A．T＝2π的奇函数 B．T＝2π的偶函数
C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数
(2)函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的最小正周期为________．
(3)若函数y＝sinx在[a，b]上是奇函数，则a＋b＝________.
答案 (1)B (2)π (3)0
题型一 正弦函数、余弦函数的周期性
例1 求下列函数的周期．
(1)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))；
(2)y＝|csx|；
(3)y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－3x))；
(4)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
[解] (1)解法一：y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3＋2π))
＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋4＋3))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))，
令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，
∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))的周期为4.
解法二：ω＝eq \f(π,2)，∴T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.
(2)y＝|csx|的图象如下图所示．
∴周期T＝π.
(3)解法一：y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－3x))＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6))).
∵3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)＋2π))＝3cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))－\f(π,6)))
＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))，
令y＝f(x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))＝f(x)，
∴y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－3x))的周期为eq \f(2π,3).
解法二：∵|ω|＝3，∴T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,3).
(4)解法一：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)＋2π))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π－\f(π,4)))，
令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)，
∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的周期为π.
解法二：∵ω＝2，∴T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.
金版点睛
求三角函数周期的方法
求三角函数的周期，通常有三种方法．
方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；
方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝eq \f(2π,|ω|)；
方法三：观察法(图象法)．
注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 求下列函数的最小正周期．
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；(2)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))；
(3)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))；(4)f(x)＝|sinx|.
解 (1)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期是π.
(2)解法一：∵2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)＋2π))
＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋4π－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))，
∴f(x＋4π)＝f(x)，
∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))的周期是4π.
解法二：∵ω＝eq \f(1,2)，∴T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.
(3)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋2π))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，∴f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.
(4)f(x)＝|sinx|的图象如图所示．
∴周期T＝π.
题型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(2)sin2x；
(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；
(3)f(x)＝sin|x|；
(4)f(x)＝eq \r(1－csx)＋eq \r(csx－1).
[解] (1)∀x∈R，f(－x)＝eq \r(2)sin(－2x)＝－eq \r(2)sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝eq \r(2)sin2x是奇函数．
(2)∀x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－cseq \f(3x,4)，
所以f(－x)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3x,4)))＝－cseq \f(3x,4)＝f(x)，
所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数．
(3)∀x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．
(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－csx≥0，,csx－1≥0，))得csx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，
此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
[条件探究] 将本例(1)改为f(x)＝eq \r(2)cs2x，
(2)改为f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))，再判断函数的奇偶性．
解 (1)∵∀x∈R，f(－x)＝eq \r(2)cs(－2x)＝eq \r(2)cs2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)∵∀x∈R，f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝sineq \f(3x,4)，
∴f(－x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3x,4)))＝－sineq \f(3x,4)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
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判断函数奇偶性应把握好的两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) (1)判断函数f(x)＝cs(2π－x)－x3sinx的奇偶性；
(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，求φ的一个值．
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
又f(x)＝csx－x3sinx，
∴f(－x)＝cs(－x)－(－x)3sin(－x)
＝csx－x3sinx＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(2)解法一：根据y＝sinx为奇函数，y＝csx为偶函数，
∴要使f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，只要φ的终边在y轴上即可．
把f(x)＝sin(2x＋φ)变为f(x)＝cs2x或f(x)＝－cs2x.
∴可取φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－eq \f(π,2).
解法二：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，
∴该函数关于直线x＝0对称．
又∵f(x)的对称轴满足2x＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
∴当x＝0时满足2x＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
∴φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
∴当k＝－1时，φ＝－eq \f(π,2).
题型三 函数周期性与奇偶性的应用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期是π，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).
∵f(x)是R上的偶函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2).
[条件探究] 若本例条件改为：函数f(x)为偶函数且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．
解 因为f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，
所以f(x＋π)＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝f(x)．
故函数f(x)的周期为π.
由函数f(x)是偶函数以及feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，
可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
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化归思想在周期函数中的应用
(1)利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．
(2)如果一个函数是周期函数，先研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
(3)周期性实质上是由终边相同的角所具有的周期性所决定的．
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 若函数f(x)是以eq \f(π,2)为周期的偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))的值．
解 ∵函数f(x)是偶函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,6))).
又函数f(x)的周期是eq \f(π,2)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)×5＋\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))＝1.
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－φ))(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D．π
答案 C
解析 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝eq \f(π,2).故选C.
2．函数y＝sin2x是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为eq \f(π,2)的偶函数
D．周期为eq \f(π,2)的奇函数
答案 A
解析 显然函数y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，故选A.
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
答案 B
解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A，C.
又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，故选B.
4．若函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))的最小正周期是eq \f(2π,3)，则ω＝________.
答案 ±3
解析 eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,3)，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.
5．函数f(x)＝eq \f(1＋sinx－cs2x,1＋sinx)的奇偶性为________．
答案 非奇非偶函数
解析 由题意，知f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x≠eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}，不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数．