高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.3 充分条件、必要条件第2课时学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.3 充分条件、必要条件第2课时学案，共10页。学案主要包含了充分不必要，充要条件的证明，探求充要条件等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”，像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
一、充分不必要、必要不充分、充要条件的判断
问题 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题是真命题？那么条件和结论互换后，命题的真假又是怎样的呢？你能用充分条件与必要条件的知识解释它们之间的关系吗？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集．
提示 上述命题中的命题(1)(4)是真命题，条件和结论互换后仍是真命题；命题(2)是真命题，但条件和结论互换后是假命题；命题(3)是假命题，但条件和结论互换后是真命题．
知识梳理
1．一般地，如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件．
2．如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
3．如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件，简称为充要条件，记作p⇔q.
注意点：
1．判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件．
2．存在p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，例：p：x>0，q：|x|>1.
例1 判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0；
(2)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
解 (1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上⇔a>0，∴p是q的充要条件．
(2)∵p⇒q，q⇏p，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，
即q⇒p，故p⇔q，
∴p是q的充要条件．
(4)∵p⇏q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件．
反思感悟 判断充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练1 (1)(多选)在下列四个结论中，正确的有( )
A．设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
答案 AD
解析 对于结论A，∵x>2⇒x>1，但x>1⇏x>2，故A正确；对于结论B，由于不知道斜边，所以不是充要条件；C显然不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故D正确．
(2)(多选)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是( )
答案 BD
解析 由题意知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．
二、充要条件的证明
例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
反思感悟 充要条件的证明思路
一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
跟踪训练2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝eq \f(c,a)<0，所以ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝eq \f(c,a)<0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
三、探求充要条件
例3 已知a＋b≠0，求a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件．
解 由a2＋b2－a－b＋2ab＝0，即
a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)
＝(a＋b－1)(a＋b)＝0，
又∵a＋b≠0，
∴a＋b－1＝0，
即a＋b＝1等价于a2＋b2－a－b＋2ab＝0.
∴在a＋b≠0的条件下，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
反思感悟 探求充要条件的两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
跟踪训练3 求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
解 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋kx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x2＋xx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x3＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,k＝－2.))
所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2.
1．知识清单：
(1)充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断．
(2)充要条件的证明．
(3)充要条件的探求．
2．方法归纳：等价转化．
3．常见误区：条件和结论辨别不清．
1．(多选)已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”成立的充要条件是( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠A＋∠B＝180°
C．∠B＋∠D＝180° D．∠C＋∠D＝180°
答案 AC
2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由条件知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D.
3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．
4．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设a，b，c分别是△ABC的三条边，
且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．
5．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．
答案 0解析 由题意可得x>0且1－x>0，
解得0∴点(x,1－x)在第一象限的充要条件是01．“x≠－1”是“x2－1≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 x2－1≠0⇔x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．
2．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
答案 A
解析 函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是－eq \f(m,2×1)＝1，即m＝－2.
3．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝eq \r(2－x)”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由q：“x－2＝eq \r(2－x)”，解得x＝2，
由q可推出p，必要性成立，
反之，由p可推出q，即充分性成立．
所以p是q的充要条件．
4．(多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是( )
A．A⊆B B．B⊆A
C．∁UA⊇∁UB D．∁UA⊆∁UB
答案 AC
解析 由A∩B＝A可知A⊆B，反过来A⊆B，
则A∩B＝A，对C来说，实际上也是A⊆B.
5．(多选)下列命题中是真命题的是( )
A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件
D．“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．
答案 BD
解析 A，“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．B，“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．C，“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．D，三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，三角形为直角三角形⇒此三角形的三边满足勾股定理，故BD是真命题．
6．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的________________条件．
答案 必要不充分
解析 非有志者不能至，意思是“能至”一定“有志”，但“有志”也不一定“能至”，故“有志”是“能至”的必要不充分条件．
7．“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,y>0))”是“eq \f(1,xy)>0”的_______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”)
答案 充分不必要
解析 “eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,y>0))”⇒“eq \f(1,xy)>0”，
“eq \f(1,xy)>0”⇒“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,y>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0,y<0))”，
所以“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,y>0))”是“eq \f(1,xy)>0”的充分不必要条件．
8．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a<5”的_________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 既不充分也不必要
解析 因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，
所以A＝{x|－4≤x≤4}．
又A⊆B，所以a≥4.又“a≥4”是“a<5”的既不充分也不必要条件．
9．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解 (1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q.
∵s是r的充分条件，∴s⇒r，
∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.
∴s是q的充要条件．
(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．
(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，
∴q⇒r⇒p.又p能否推出q未知，
∴p是q的必要条件．
10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
证明 (1)必要性：由eq \f(1,x)又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，
得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)综上所述，eq \f(1,x)0.
11．“aA．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，
即1－4a≥0，即a≤eq \f(1,4)，又“a但“a≤eq \f(1,4)”不能推出“a即“a12．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的为( )
A．A∪B＝A B．(∁UA)∩B＝∅
C．(∁UB)⊆(∁UA) D．A∪(∁UB)＝U
答案 ABD
解析 由Venn图可知，ABD都是充要条件．
13．m＝1是函数y＝为二次函数的________条件，y＝为二次函数是m＝3的________条件．
答案 充分不必要 必要不充分
解析 当m＝1时，函数y＝x2为二次函数．
反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，
即m＝3或m＝1，
所以m＝1是函数y＝为二次函数的充分不必要条件．
y＝为二次函数是m＝3的必要不充分条件．
14．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像不过第三象限的充要条件是________．
答案 k<0且b≥0
解析 如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.
15．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq \f(c,a).
又∵l＝1，∴mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq \f(a,c)，
即eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)或eq \f(b,c)＝eq \f(a,c)，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．
16．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解 当a＝0时，x＝－eq \f(1,2)符合题意．
当a≠0时，令y＝ax2＋2x＋1.
∵二次函数图像一定过点(0,1)，
①若a>0，则－eq \f(2,a)<0，eq \f(1,a)>0，
∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0②若a<0，则eq \f(1,a)<0，Δ＝4－4a>0，
∴方程恒有两异号实数根．
综上所述，a≤1为所求．