高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系图文课件ppt

1.1.2　集合的基本关系

知识点一　子集与真子集

1．子集与真子集的定义

2.子集、真子集的性质

(1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A．

(2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A．

(3)对于集合A，B，C．

①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；

②若AB，BC，则AC；

3．维恩图

如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．

(1)任何两个集合之间是否有包含关系？

(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？

[提示]　(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．

(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；

而“⊆”表示集合与集合之间的关系．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何集合至少有两个子集．  (　　)

(2){0,1,2}⊆{2,0,1}．  (　　)

(3)若A⊆B，且A≠B，则AB．  (　　)

(4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2.下列命题：

①空集没有子集；

②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若∅A，则A≠∅.

其中正确的个数是(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

B　[在①中，空集的子集是空集，故①错误；

在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；

在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；

在④中，若∅A，则A≠∅，故④正确．故选B．]

3.下列图形中，表示M⊆N的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

C　[由维恩图知，易选C．]

知识点二　集合相等与子集的关系

1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．

2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A．

4.若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中，具有相等关系的是________．

[答案]　M和N

5.设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.

[答案]　－1

类型1　集合间关系的判断

【例1】　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．

A．1 B．2

C．3 D．4

(2)指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

(1)B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B．]

(2)[解]　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB．

③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.

判断集合关系的方法有哪些？

[提示]　(1)观察法：一一列举观察．

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

(3)数形结合法：利用数轴或维恩图．

1．判断下列两个集合之间的关系：

(1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的约数}；

(2)A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}；

(3)A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}．

[解]　(1)∵A＝{1,2,4}，B＝{1,2,4,8}，如图，

∴AB(A⊆B亦可，但AB更准确)．

(2)∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，用数轴表示如下：

∴AB．

(3)法一：任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z.

又∵x0＝2(k0＋1)－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，

∴x0∈B，则A⊆B．同理可得，B⊆A．

由A⊆B，B⊆A，得A＝B．

法二：集合A＝{…，－5，－3，－1,1,3,5,7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1,1,3,5，…}，根据规律可知集合A与B所含元素相同，所以A＝B．

类型2　集合的子集、真子集的个数问题

【例2】　(对接教材P11例1)(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是(　　)

A．6　　　　B．7　　　　C．8　　　　D．9

(2)若{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}，则集合A的个数是(　　)

A．8 B．7

C．4 D．3

(1)B　(2)A　[(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B．

(2)法一：(列举法)：满足条件{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．

法二：(计数法)：因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}，所以，集合A一定含有元素1,2(可不考虑)，可能含有元素3,4,5，故集合A的个数即集合{3,4,5}的子集个数，即23＝8(个)．故选A．]

1．求集合子集、真子集个数的3个步骤

2．与子集、真子集个数有关的3个结论

假设集合A中含有n个元素，则有：

(1)A的子集的个数为2n个．

(2)A的真子集的个数为2n－1个．

(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．

2．(1)已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　)

A．2 B．4

C．6 D．8

(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．

(1)B　[(1)根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]

(2)[解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，

∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，

∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．

类型3　利用集合关系求参数的值或取值范围

1．集合A＝[m,2m－1]，集合A一定是非空集合吗？

[提示]不一定．当m≤2m－1，即m≥1时集合A非空；当m＜1时，A＝∅.

2．已知区间A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B⊆A，则实数a的取值范围是什么？

[提示]　借助数轴可知a≤2.

　由集合相等求参数

【例3】　已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，且A＝B，求x，y的值．

[解]　因为A＝B，所以集合A与集合B中的元素相同，所以或

解得或或

验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．

所以x，y的取值为或

3．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．

[解]　由已知A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A．

若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性；

若xy＝0，即y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性．

所以只有x－y＝0，即y＝x.

所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}．

所以x2＝|x|，所以x＝0(舍)或x＝1或x＝－1．

当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，不满足元素的互异性，故x≠1．

当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}，满足题意．所以x＝y＝－1即为所求．

　由集合间包含关系求参数

【例4】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

(1)若BA，求实数m的取值范围；

(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．

[思路点拨]　两个集合都是连续型的无限集，可考虑用数轴来表示．

[解]　(1)①当B≠∅，如图所示．

∴或

解这两个不等式组，得2≤m≤3.

②当B＝∅时，由m＋1＞2m－1，得m＜2.

综上可得，m的取值范围m≤3.

(2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.

∴即∴m不存在．

即不存在实数m使A⊆B．

利用集合间的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．

1．(多选题)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为(　　)

A．P⊆T B．T⊇P　　　

C．P＝T　　　 D．PT

AB　[P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，

则P⊆T，也可表示为T⊇P.

故选AB．]

2．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　　D

B　[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴NM，故选B．]

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，那么(　　)

A．若a＝3，则A⊆B　 B．若A⊆B，则a＝3

C．若a＝3，则AB D．若A⊆B，则a＝2

A　[当a＝3时，A＝{1,3}，B＝{1,2,3}，A⊆B成立．当A⊆B时，a＝2或3.]

4．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)且A⊆B，则实数m的取值集合是________．

[3，＋∞)　[将集合A在数轴上表示出来，如图所示，

要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.]

5．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.

0或　[因为集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，所以A中只含有一个元素．

当a＝0时，A＝；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝9－8a＝0得a＝.

综上，当a＝0或a＝时，集合A的子集只有两个．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．对子集、真子集有关概念你是怎样理解的？

[提示]　(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．

(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．

(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A．

2．集合子集的个数问题的数学式子是什么？

[提示]　求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．

集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．

3．{0}，∅，{∅}之间有什么区别与联系？

[提示]　{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此∅⊆{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合，因此∅作为一个元素时，有∅∈{∅}，∅作为一个集合时，有∅⊆{∅}．

4．子集的性质是怎样的？

[提示]　(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C，即集合间的子集关系具有传递性；

(3)规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．