人教B版 (2019)1.1.2 集合的基本关系学案

这是一份人教B版 (2019)1.1.2 集合的基本关系学案，共19页。

“天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊．”如果草原上某牧民家所有的羊组成集合A，所有的牛、羊组成集合B．
问题 (1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与集合B存在什么关系？
知识点1 子集与真子集
1．子集与真子集的定义
(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？
(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？
[提示] (1)不一定，如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
符号“⊆”表示集合与集合之间的关系．
2．子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A．
(2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A．
(3)包含关系的传递性：对于集合A，B，C．
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若AB，BC，则AC；
3．维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．
知识点2 集合的相等与子集的关系
1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．
2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){0，1，2}⊆{2，0，1}．( )
(2)若A⊆B，且A≠B，则AB．( )
(3)集合{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下列命题中，正确的个数是( )
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅A，则A≠∅．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [在①中，空集的子集是空集，故①错误；
在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；
在④中，若∅A，则A≠∅，故④正确．故选B．]
3．下列图形中，表示M⊆N的是( )

A B C D
C [由维恩图知，选C．]
4．下列各组中的两个集合相等的有( )
①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
②P＝{x|x＝2n－1，n∈N+}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N+}；
③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝xx=1+-1n2，n∈Z．
A．①②③B．①③
C．②③D．①②
B [①中，对于Q，因为n∈Z，所以n－1∈Z，所以Q表示偶数集，所以P＝Q．②中，P是由所有正奇数组成的集合，Q是由所有大于1的正奇数组成的集合，所以集合P与集合Q不相等．③中，P＝{0，1}，对于Q，当n为奇数时，x＝1+-1n2＝0；当n为偶数时，x＝1+-1n2＝1，故Q＝{0，1}，所以P＝Q．故选B．]
类型1 集合间关系的判断
【例1】 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0，1，2}；②2，4，6⊆6，4，2；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．
A．1B．2
C．3D．4
(2)判断下列每组中两个集合的关系：
①A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}．
②A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}．
(3)(源自人教A版教材)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
①A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
②A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
(1)B [对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序实数对(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B．]
(2)[解] ①因为n∈Z，所以n＋1∈Z，所以B表示偶数集，
因为A也表示偶数集，
所以A＝B．
②因为A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R，
所以AB．
(3)[解] ①因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．
②因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)特征性质法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间的关系．
(3)数形结合法：利用数轴或维恩图．
[跟进训练]
1．判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|0(3)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)∵A＝{x|0(3)(法一)由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；
由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B．
(法二)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B．
类型2 集合的子集、真子集的个数问题
【例2】 (1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1B．2
C．3D．4
(1)B (2)B [(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个元素的有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素的有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B．
(2)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素．又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2．]
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n个．
(2)A的真子集的个数为2n－1个．
(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．
[跟进训练]
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
∴A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}．
类型3 集合相等关系的应用
【例3】 已知集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，证明：X＝Y．
[思路导引] 要证明X＝Y，应证明X⊆Y，且Y⊆X．
[证明] (1)设x0∈X，
则x0＝2n0＋1，且n0∈Z．
①若n0是偶数，
可设n0＝2m，m∈Z，
则x0＝4m＋1，m∈Z，
∴x0∈Y；
②若n0是奇数，
可设n0＝2m－1，m∈Z，
则x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，m∈Z，∴x0∈Y．
故不论n0是奇数还是偶数，都有x0∈Y，∴X⊆Y．
(2)设y0∈Y，
则y0＝4k0＋1或y0＝4k0－1，k0∈Z．
∵y0＝4k0＋1＝2·(2k0)＋1或y0＝4k0－1＝2·(2k0－1)＋1，又k0∈Z，
∴2k0∈Z，2k0－1∈Z，
∴y0∈X，
∴Y⊆X．
综上所述，X＝Y．
(1)对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，说明两个集合中的元素完全相同，从而得出两个集合相等．
(2)若集合A，B均为无限集，一般不用“集合A，B所含元素完全相同”来证明，这是因为当集合为无限集时，很难判定两个集合的元素完全相同，此时可证明集合A，B互为子集，即证明A⊆B，同时B⊆A．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．
[解] 由已知A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A．
若x＝0，则A＝{0，0，－y}，不满足元素的互异性；
若xy＝0，即y＝0，则B＝{0，|x|，0}，也不满足元素的互异性，
所以只有x－y＝0，即y＝x，
所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}，
所以x2＝|x|，
所以x＝0(舍)或x＝1或x＝－1．
当x＝1时，A＝B＝{1，1，0}，不满足元素的互异性，故x≠1．
当x＝－1时，A＝B＝{－1，1，0}，满足题意．所以x＝y＝－1即为所求．
类型4 根据集合之间的关系求参数
【例4】 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
[解] 当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a+3≥2a，a+3<-1或a+3≥2a，2a>4，
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
[母题探究]
(变条件)把集合A换成“A＝{x|－1[解] 因为A＝{x|－1若A⊆B，如图，
所以2a≤-1，a+3>2或2a<-1，a+3≥2，解得－1≤a≤－12，
所以实数a的取值范围为a-1≤a≤-12．
应用集合关系求参数的步骤
提醒：此类问题的易错点有三个地方：①忽略A＝∅或B＝∅的情况；②在数轴上表示两个集合时，没有分清实心点与空心圈；③没有弄清包含关系，没有正确地列出不等式或不等式组．
[跟进训练]
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．
[解] (1)①当B≠∅，如图所示．
∴m+1≥-2，2m-1<5，2m-1≥m+1或m+1>-2，2m-1≤5，2m-1≥m+1，
解这两个不等式组，得2≤m≤3．
②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2．
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅．
∴2m-1>m+1，m+1≤-2，2m-1≥5，即m>2，m≤-3，m≥3，
∴m不存在，即不存在实数m使A⊆B．
1．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是( )
A B C D
B [由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}．
∵M＝{－1，0，1}，
∴NM，故选B．]
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么( )
A．若a＝3，则A⊆B B．若A⊆B，则a＝3
C．若a＝3，则A⃘BD．若A⊆B，则a＝2
A [当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，A⊆B成立．当A⊆B时，a＝2或3．]
3．集合A＝{x∈N|－2A．8 B．7 C．4 D．3
D [因为集合A＝{x∈N|－2所以集合A的真子集的个数为22－1＝3．故选D．]
4．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)且A⊆B，则实数m的取值集合是________．
[3，＋∞) [将集合A在数轴上表示出来，如图所示．
要满足A⊆B，表示实数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？
[提示] 两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．
2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？
[提示] (1)∅⊆A，(2)∅A(A≠∅)．
3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？
[提示] 包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．
“白马非马”的故事
公孙龙，中国古代哲学家，《白马论》是他的一篇哲学名篇，文中的一个主要论题是“白马非马”．他提出的理由之一是：“求‘马’，‘黄’‘黑’马皆可致，求‘白马’，‘黄’‘黑’马不可致……是白马之非马，审矣！”意思是：若说要马，黄马黑马都行，若说要白马，黄马黑马就不行了……可见白马非马是无疑的了．想一想，公孙龙话里的奥妙在哪里？
我们日常说话用的自然语言虽然生动通俗，但很难做到严谨，因为常有一字多义的情形．“白马非马”的“非”字，乃“是”字的反义词．“是”字的用法有多种．例如：“关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马”，这里的“是”相当于数学中的“＝”，表示“关羽千里走单骑的坐骑”和“赤兔马”是同一个事物；“赤兔马是红马”，这里的“是”相当于集合符号“∈”，表示“赤兔马”是“红马”集合的一个元素；“红马是马”，这里的“马”是个大集合，“红马”是个小集合，“是”字表示的是两个集合之间的包含关系，即红马集合包含于马集合．
可见“是”字身兼多义，如表示“等于”“属于”或“包含于”，那么“非”字也就可以表示“不等于”“不属于”或“不包含于”了．公孙龙所论证的实际上是“白马集合不等于马集合”，这个意思大家一听就明，但含糊地说“白马非马”，通常会被理解成“白马集合不包含于马集合”，就引起讨论的兴趣了．
这个例子说明，使用集合的思想和一词一义的数学概念，有助于把事情弄清楚．
课时分层作业(三) 集合的基本关系
一、选择题
1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则( )
A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P
C [集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，由于集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P．故选C．]
2．已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以是( )
A．{1，8}B．{2，3}
C．{0}D．{9}
A [由A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，可知集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知只有A满足题意．]
3．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U．
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
D [元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．]
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1B．2
C．3D．4
D [因为集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C的个数为4．]
5．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝( )
A．2B．1
C．23D．－1
B [依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B，所以a＝1．故选B．]
二、填空题
6．已知集合M＝{1，0，－1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M}，则集合N的子集个数为________，真子集个数为________．
8 7 [(法一：列举法)由题意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，{0，1，－1}，共8个；真子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，共7个．
(法二：公式法)由题意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集个数为23＝8，N的真子集个数为23－1＝7．]
7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M．其中正确的有________．(填序号)
①② [①②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．]
8．已知集合A＝{a＋b，－2}，B＝{－2，ab}，则满足A＝B的一组有序实数对(a，b)可以为________．
(2，2)答案不唯一，满足b=aa-1，a≠1即可 [由题意可得a＋b＝ab，即(a－1)b＝a，显然a≠1，所以b＝aa-1，故(a，b)可以为(2，2)．]
三、解答题
9．指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；
(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(4)M＝xx=n2，n∈Z，N＝xx=12＋n，n∈Z．
[解] (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB．
(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA．
(3)由图形的特点可画出维恩图如图所示，
从而DBAC．
(4)对于集合M，其组成元素是n2，分子部分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是12＋n＝2n+12，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，NM．
10．(多选)若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x，y}⊆A，则xy，x＋y∈A，且当x≠0时，yx∈A，则称集合A是“紧密集合”．下列说法正确的是( )
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”且x，y∈A，则x－y∈A
BC [A选项：若x＝2，y＝1，而12∉Z，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项：集合{－1，0，1}是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项：集合A＝{－1，0，1}是“紧密集合”，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2∉A，D错误．]
11．设集合M＝xx=k3+16，k∈Z，N＝xx＝k6+23，k∈Z，则( )
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．无法确定
B [由集合M＝xx=k3+16，k∈Z，得x＝k3+16＝2k+16，分子是奇数，
由集合N＝xx=k6+23，k∈Z，得x＝k6+23＝k+46，
分子可以是奇数也可以是偶数，
则M⊆N，故选B．]
12．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
201 [可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201．]
13．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1254 (－∞，－2]∪[－1，2] [化简集合A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集个数为28－2＝254．
(2)①当m≤－2时，B＝∅，B⊆A；
②当m>－2时，B≠∅，因此，要使B⊆A，
则只要m-1≥-2，2m+1≤5，∴－1≤m≤2．
综上所述，m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，2]．]
14．(1)已知A＝{x|m＋1≤x≤3m－1}，B＝{x|1≤x≤10}，且A⊆B，求实数m的取值范围．
(2)若(1)中的“B＝{x|1≤x≤10}”改为“B＝{x|x>10或x<1}”，其余条件不变，求实数m的取值范围．
[解] (1)①A＝∅时，m＋1>3m－1，解得m<1，满足A⊆B；
②A≠∅时，由A⊆B可得m+1≤3m-1，m+1≥1，3m-1≤10，
解得1≤m≤113．
由①②得m≤113，故m的取值范围是mm≤113．
(2)①A＝∅时，m＋1>3m－1，
解得m<1，满足A⊆B；
②A≠∅时，由A⊆B可得m+1≤3m-1，3m-1<1或m+1≤3m-1，m+1>10，即m无解或m>9．
故m的取值范围是{m|m<1或m>9}．
15．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S(x，y可以相同)，有x＋y∈S且x－y∈S．
(1)集合S能否为有限集？若能，求出所有有限集；若不能，请说明理由．
(2)证明：若3∈S且5∈S，则S＝Z．
[解] (1)能．若a∈S，且a≠0，由题意知a的所有整数倍的数都是S中的元素，所以S是无限集；
若a∈S，且a＝0，则S＝{0}，x＋y∈S，x－y∈S，符合题意，且S＝{0}是有限集，
所以集合S能为有限集，即S＝{0}．
(2)证明：因为非空集合S的元素都是整数，且x＋y∈Z，x－y∈Z，由5∈S，3∈S，
所以5－3＝2∈S，
所以3－2＝1∈S，
所以1＋1＝2∈S，1＋2＝3∈S，1＋3＝4∈S，…，
1－1＝0∈S，0－1＝－1∈S，－1－1＝－2∈S，－2－1＝－3∈S，…，
所以非空集合S是所有整数构成的集合，所以S＝Z．学习任务
1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象)
2．能识别给定集合的子集、真子集，并会用列举法求给定集合的所有子集、真子集．(数学运算、逻辑推理)
3．会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系．(直观想象)
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集
A⊆B
(或B⊇A)
真
子
集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集
AB
(或BA)