人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系优秀教案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系优秀教案设计，共7页。







1.维恩图


一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．


维恩图的优点及其表示


(1)优点：形象直观．


(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．


2．子集、真子集、集合相等的相关概念





思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？


(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？


提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．


(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；


而“⊆”表示集合与集合之间的关系．


3．集合间关系的性质


(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.


(2)对于集合A，B，C.


①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；


②若AB，BC，则AC.


③若A⊆B，A≠B，则AB.





1．下列集合中与{2,3}是同一集合的是( )


A．{{2}，{3}} B．{(2,3)}


C．{(3,2)} D．{3,2}


D [与{2,3}是同一集合的是{3,2}．故选D.]


2．下列命题：


①空集没有子集；


②任何集合至少有两个子集；


③空集是任何集合的真子集；


④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


B [在①中，空集的子集是空集，故①错误；


在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；


在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；


在④中，若∅A，则A≠∅，故④正确．故选B.]


3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是( )


A．{0,1} B．{1,3}


C．{－1,1} D．{0,5}


A [A.0∈P,1∈P，则M⊆P成立，


B．3∉P，则M⊆P不成立，


C．－1∉P，则M⊆P不成立，


D．5∉P，则M⊆P不成立，


故选A.]


4．已知集合A{2 018,2 019}，则这样的集合A共有________个．


3 [满足A{2 018,2 019}的集合A为：∅，{2 018}，{2 019}，共3个．]








【例1】 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．


[解] A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．


(1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．


(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，


∵eq \f(1,a)≠0，要使A⊇B，只有eq \f(1,a)＝1，即a＝1.


综上，a＝0或a＝1.





集合A的子集可分三类：∅、A本身、A的非空真子集，解题中易忽略∅.








1．已知集合A＝{x|1

[解] (1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．


(2)当a<1时，要使A⊇B，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))这样的实数a不存在．


综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．





【例2】 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；


(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．


[解] (1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．


(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．





为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.








2．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )


A．15 B．16 C．31 D．32


A [这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]





【例3】 (1)下列各式中，正确的个数是( )


①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}


A．1 B．2


C．3 D．4


(2)指出下列各组集合之间的关系：


①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；


②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；


③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．


(1)B [对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.]


(2)[解] ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．


②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.


③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.


法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.





判断集合间关系的方法


1用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；,若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.


2数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.








3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是( )





B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示．]





1．对子集、真子集有关概念的理解


(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．


(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．


(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.


2．集合子集的个数


求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．


集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．





1．下列集合中，结果是空集的是( )


A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}


C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}


D [A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，


B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，


C．{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}，


D．{x|x＞6且x＜1}＝∅，故选D.]


2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )


A．P⊆T B．P∈T


C．P＝T D． PT


A [集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P⊆T，故选A.]


3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是( )





B [由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴NM，故选B.]


4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围________．


[4，＋∞) [∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，


∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)


2．能识别给定集合的子集、真子集．


3．了解维恩图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.
1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培养数学抽象素养．


2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养．


3．利用Venn图，培养直观想象数学素养.
理解子集、真子集、空集的概念
集合的子集、真子集的确定
集合间关系的应用