高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数课堂检测

课时分层作业(三十)　对数函数及其性质的应用

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)

A．(－∞，7]　　　 B．(2,7]

C．[7，＋∞)   D．(2，＋∞)

B　[由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，

即2<x≤7，故选B.]

2．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　)

A.   B．(0,1]

C．(0，＋∞)   D．[1，＋∞)

D　[f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．

]

3．已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　)

A．0<b<a<1   B．0<a<b<1

C．1<b<a   D．1<a<b

A　[由loga>0，logb>0，可知a，b∈(0,1)，

又loga>logb，作出图象如图所示，

结合图象易知a>b，∴0<b<a<1.

]

4．若a＝20.2，b＝log4(3.2)，c＝log2(0.5)，则(　　)

A．a＞b＞c   B．b＞a＞c

C．c＞a＞b   D．b＞c＞a

A　[∵a＝20.2＞1＞b＝log4(3.2)＞0＞c＝log2(0.5)，∴a＞b＞c.故选A.]

5．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)

A.　　　B.　　　C．2　　　D．4

B　[当a>1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝(舍去)．

当0<a<1时，1＋a＋loga2＝a，

∴loga2＝－1，a＝.]

二、填空题

6．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．

[－2，＋∞)　[－x2＋3x＋4＝－2＋≤，

∴有0<－x2＋3x＋4≤，

∴根据对数函数y＝log0.4x的图象(图略)即可得到：

log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，

∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]

7．若loga<1，则a的取值范围是________．

∪(1，＋∞)　[原不等式等价于或

解得0<a<或a>1，

故a的取值范围为∪(1，＋∞)．]

8．若y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

(1,3]　[因为y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，

所以

解得1<a≤3.故a的取值范围是(1,3]．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．

(1)求函数y＝f(x)的定义域；

(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．

[解]　(1)要使函数有意义，则解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．

(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．

对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．

∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，

∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．

10．已知函数y＝(log2x－2)，2≤x≤8.

(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；

(2)求该函数的值域．

[解]　(1)y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1，

又2≤x≤8，∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，即1≤t≤3.

(2)由(1)得y＝2－，1≤t≤3，

当t＝时，ymin＝－；

当t＝3时，ymax＝1，∴－≤y≤1，

即函数的值域为.

[等级过关练]

1．函数f(x)＝lg是(　　)

A．奇函数　　　　 B．偶函数

C．既奇又偶函数   D．非奇非偶函数

A　[f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，

∴f(x)为奇函数，故选A.]

2．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)

A．(，2)   B．(1，)

C.   D.

C　[当0＜x≤时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C.

]

3．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．

－　[f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为y＝t(t＋1)＝2－(t∈R)，故该函数的最小值为－.故f(x)的最小值为－.]

4．设常数a＞1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最大值为，则x的值为________．

　[实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，

化为logax＋＋＝－3.

令logax＝t，则原式化为logay＝－2＋.

∵a＞1，∴当t＝－时，y取得最大值，

∴loga＝，解得a＝4，∴log4x＝－，

∴x＝4－＝.]

5．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0<a<1.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．

[解]　(1)要使函数有意义，则有

解得－3<x<1，所以函数的定义域为(－3,1)．

(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因为－3<x<1，所以0<－(x＋1)2＋4≤4.

因为0<a<1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，

即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.